Побудова математичних моделей задач управління

 

 

Серед математичних методів вирішення задач управління найбільш розповсюдженими є методи лінійного програмування.

Для цього класу задач характерно:

По-перше – показник ефективності (або критерій) лінійно залежить від елементів (або аргументів) рішення;

По-друге – обмеження, що накладаються на елементи рішення, мають вид лінійних нерівностей і рівностей.

Особливістю цього класу задач є припущення про лінійність, тобто пропорційності залежностей, що розглядаються.

Наприклад: сумарна коштовність виготовленої продукції пропорційна її кількості.

На практиці лінійні залежності зустрічаються не часто, а значну частину залежностей можливо умовно приймати за лінійні. Задачі лінійного програмування часто використовують при рішенні задач перспективного планування (транспортних задач).

Математична модель задачі управління представляється у вигляді цільовій функції, яка відображає основну ціль задачі, що вирішується, і обмежень, які є умовами ситуації, що аналізується.

 

 

1. Побудова математичної моделі задачі перспективного планування (оптимального планування)) в процесі управління за критерієм максимізації прибутку

Умови:

Кожний з підрозділі підприємства виготовляє товар декількох видів.

Від реалізації товару підприємство отримує певний прибуток.

Необхідно визначити:

Скільки груп товару кожного виду підприємство повинно випускати, щоб виходячи з фонду робочого часу, отримати максимальний прибуток.

Для більшого розуміння наведено конкретні умови у вигляді прикладу:

Основні показники наведено у таблиці 1.

Таблиця 1

Показники виробництва

Підрозділи підприємства (і)	Витрати часу на виготовлення однієї одиниці товару j (год): tij	Фонд робочого часу підрозділу (Ti), год.
a	b
Прибуток від реалізації однієї одиниці продукції (товару) (Pj), грн.

 

Рішення:

 

Для побудови математичної моделі задачі необхідно ввести позначення і представити модель у загальному виді:

i - підрозділ, ;

j – вид продукції, ;

X_j – обсяг продукції j –го виду, ;

X_ij – обсяг продукції j –го виду, що виробляється i-м підрозділом, , ;

t_ij – час необхідний для виробництва j –го виду продукції в i- у підрозділі, , ;

T_i – фонд робочого часу підрозділу i- ї групи, ;

P_j – прибуток від реалізації одного виробу j –го виду, .

Для визначення оптимального плану виробництва продукції за критерієм максимізації прибутку, необхідно скласти математичну модель задачі в загальному вигляді:

 

(2)

Модель задачі, що аналізується, відповідно представлена у наступному виді:

Цільова функція: 20X_a + 30X_b →max

Обмеження: X_1a + 2X_1b ≤ 10

X_2a + X_2b ≤ 6

2X_3a + X_3b ≤ 10

X_1a + X_2a + X_3a = X_a

X_1b + X_2b + X_3b = X_b

X_ij ≥ 0,

2. Побудова оптимізаційної моделі задачі перспективного планування (транспортна модель) в процесі управління за критерієм мінімізації витрат

Умови:

З визначеної кількості підприємств до деяких торговельних підприємств поступає товар. Потреба торговельних організацій не більше виробництва підприємств постачальників.

Відомо: кількість товару, яке необхідно торговельній організації;

кількість товару, що виготовляється підприємствами-постачальниками;

собівартість товару і вартість перевезень.

Необхідно: спланувати постачання торговельних фірм товаром, щоб витрати були мінімальними.

Введемо позначення:

j – номер торговельного підприємства, ;

i – номер підприємства-постачальника, ;

P_j – потреба j –го торговельного підприємства в товарі, ;

N_i – потужність i-го підприємства-постачальника, ;

r_ij – витрати на постачання і придбання товару з i- го підприємства j –го торговельного підприємства, , ;

x_ij – обсяг постачання товару з i- го підприємства на j –е торговельне підприємство, , .

Математична модель задачі в загальному вигляді:

Цільова функція: представляє собою суму витрат на постачання товару від кожного підприємства-постачальника кожному торговельному підприємству і це значення повинно бути мінімальним:

Обмеження:

по потребі – обсяг товару, що постачається повинен забезпечити задану потребу торговельного підприємства (P_j);

по потужності – обсяг кількості товару кожного підприємства-постачальника (N_i) повинен відповідати, тобто дорівнювати або бути більше ніж потреба торговельних підприємств.

 

 

У результаті реалізації даної моделі можливо отримати оптимальний план постачання торговельних підприємств сировиною з мінімальними транспортними витратами.

Більш детальне розуміння застосування оптимізаційних моделей для вирішення задач перспективного планування в процесі управління буде надано на практичних заняттях.