Порядок анализа временных рядов

 

Цель анализа временных рядов обычно заключается в построении математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить его поведение и осуществить прогноз на определенный период времени. Анализ временных рядов включает следующие основные этапы.

Построение и изучение графика. Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика.

Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов. На каждом из них рассматривается ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция (за исключением очень больших значений лагов).

Подбор модели для временного ряда. После того, как исходный процесс максимально приближен к стационарному, можно приступить к подбору различных моделей полученного процесса. Цель этого этапа – описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. При этом на практике чаще всего используются параметрические модели авторегрессии-скользящего среднего (ARIMA-модели)

Модель может считаться подобранной, если остаточная компонента ряда является процессом типа «белого шума», когда остатки распределены по нормальному закону с выборочным средним равным 0. После подбора модели обычно выполняются:

· оценка дисперсии остатков, которая в дальнейшем может быть использована для построения доверительных интервалов прогноза;

· анализ остатков с целью проверки адекватности модели.

Прогнозирование и интерполяция. Последним этапом анализа временного ряда может быть прогнозирование его будущих (экстраполяция) или восстановление пропущенных (интерполяция) значений и указания точности этого прогноза на базе подобранной модели. Не всегда удается хорошо подобрать математическую модель для временного ряда. Неоднозначность подбора модели может наблюдаться как на этапе выделения детерминированной компоненты ряда, так и при выборе структуры ряда остатков. Поэтому исследователи довольно часто прибегают к методу нескольких прогнозов, сделанных с помощью разных моделей.

Методы анализа. При анализе временных рядов обычно используются следующие методы:

· графические методы представления временных рядов и их сопутствующих числовых характеристик;

· методы сведения к стационарным процессам: удаление тренда, модели скользящего среднего и авторегрессии;

· методы исследования внутренних связей между элементами временных рядов.

 

Графические методы анализа временных рядов

 

Зачем нужны графические методы. В выборочных исследованиях простейшие числовые характеристики описательной статистики (среднее, медиана, дисперсия, стандартное отклонение) обычно дают достаточно информативное представление о выборке. Графические методы представления и анализа выборок при этом играют лишь вспомогательную роль, позволяя лучше понять локализацию и концентрацию данных, их закон распределения.

Роль графических методов при анализе временных рядов совершенно иная. Дело в том, что табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику временного ряда можно сделать довольно много выводов. В дальнейшем они могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов.

При анализе графиков можно достаточно уверенно определить:

· наличие тренда и его характер;

· наличие сезонных и циклических компонент;

· степень плавности или прерывистости изменений последовательных значений ряда после устранения тренда. По этому показателю можно судить о характере и величине корреляции между соседними элементами ряда.

Построение и изучение графика. Построение графика временного ряда – совсем не такая простая задача, как это кажется на первый взгляд. Современный уровень анализа временных рядов предполагает использование той или иной компьютерной программы для построения их графиков и всего последующего анализа. Большинство статистических пакетов и электронных таблиц снабжено теми или иными методами настройки на оптимальное представление временного ряда, но даже при их использовании могут возникать различные проблемы, например:

 

· из-за ограниченности разрешающей способности экранов компьютеров размеры выводимых графиков могут быть также ограничены;

· при больших объемах анализируемых рядов точки на экране, изображающие наблюдения временного ряда, могут превратиться в сплошную черную полосу.

 

Для борьбы с этими затруднениями используются различные способы. Наличие в графической процедуре режима «лупы» или «увеличения» позволяет изобразить более крупно выбранную часть ряда, однако при этом становится трудно судить о характере поведения ряда на всем анализируемом интервале. Приходится распечатывать графики для отдельных частей ряда и состыковыватьих вместе, чтобы увидеть картину поведения ряда в целом. Иногда для улучшения воспроизведения длинных рядов используется прореживание, то есть выбор и отображение на графике каждой второй, пятой, десятой и т.д. точки временного ряда. Эта процедура позволяет сохранить целостное представление ряда и полезна для обнаружения трендов. На практике полезно сочетание обеих процедур: разбиения ряда на части и прореживания, так как они позволяют определить особенности поведения временного ряда.

Еще одну проблему при воспроизведении графиков создают выбросы – наблюдения, в несколько раз превышающие по величине большинство остальных значений ряда. Их присутствие тоже приводит к неразличимости колебаний временного ряда, так как масштаб изображения программа автоматически подбирает так, чтобы все наблюдения поместились на экране. Выбор другого масштаба на оси ординат устраняет эту проблему, но резко отличающиеся наблюдения при этом остаются за границами экрана.

Вспомогательные графики. При анализе временных рядов часто используются вспомогательные графики для числовых характеристик ряда:

 

· график выборочной автокорреляционной функции (коррелограммы) с доверительной зоной (трубкой) для нулевой автокорреляционной функции;

· график выборочной частной автокорреляционной функции с доверительной зоной для нулевой частной автокорреляционной функции;

· график периодограммы.

 

Первые дваиз этих графиков позволяют судить о связи (зависимости) соседних значений временного рада, они используются при подборе параметрических моделей авторегрессии и скользящего среднего. График периодограммы позволяет судить о наличии гармонических составляющих во временном ряде.

 

 

Пример анализа временных рядов

 

Покажем последовательность анализа временных рядов на следующем примере. В таблице 8 приведены в относительных единицах данные продаж продовольственных товаров в магазине (Y_t). Разработать модель продаж и провести прогнозирование объема продаж на первые 6 месяцев 1996 года. Выводы обосновать.

 

Таблица 8

Месяц	Yt

Построим график этой функции (рис. 8).

 

Рис. 8

 

 

Анализ графика показывает:

· Временной ряд имеет тренд, весьма близкий к линейному.

· Существует определенная цикличность (повторяемость) процессов продаж с периодом цикла 6 месяцев.

· Временный ряд нестационарный, для приведения его к стационарному виду из него необходимо удалить тренд.

 

После перерисовки графика с периодом 6 месяцев он будет иметь следующий вид (рис.9). Так как колебания объемов продаж достаточно велики (это видно по графику) необходимо провести его сглаживание для более точного определения тренда.

 

 

Рис. 9

 

Существует несколько подходов к сглаживанию временного временных рядов:

 

Ø Простое сглаживание.

Ø Метод взвешенной скользящей средней.

Ø Метод экспоненциального сглаживания Брауна.

Простое сглаживание основано на преобразовании исходного ряда в другой, значения которого являются усредненными по трем рядом стоящим точкам временного ряда:

 

(3.10)

для 1-го члена ряда

(3.11)

для n -го (последнего) члена ряда

(3.12)

Метод взвешенной скользящей средней отличается от простого сглаживания тем, что включает параметр w_t, который позволяет вести сглаживание по 5 или 7 точкам

 

(3.13)

 

для полиномов 2-го и 3-го порядков значение параметра w_t определяется из следующей таблицы

 

m = 5	-3				-3
m = 7	-2						-2

Метод экспоненциального сглаживания Брауна использует предшествующие значений ряда, взятые с определенным весом. Причем вес уменьшается по мере удаления его от текущего времени

 

, (3.14)

 

где а – параметр сглаживания (1 > a > 0);

(1 - а) – коэф. дисконтирования.

 

Параметр а рекомендуется выбирать в пределах от 0,35 до 1.

S_o обычно выбирается равным Y₁ или среднему из первых трех значений ряда.

 

Проведем простое сглаживание ряда. Результаты сглаживания ряда приведены в таблице 9. Полученные результаты представлены графически на рис.10. Повторное применение процедуры сглаживания к временному ряду позволяет получить более гладкую кривую. Результаты расчетов повторного сглаживания также представлены в таблице 9. Найдем оценки параметров линейной модели тренда по методике, рассмотренной в предыдущем разделе. Результаты расчетов следующие:

 

 

Множественный R	0,933302
R-квадрат	0,871052
`a0 = 212,9729043 `t = 30,26026442   `a1 = 5,533978254 `t = 13,50506944   F = 182,3869

 

Уточненный график с линией тренда и моделью тренда представлен на рис. 12.

Месяц	Yt	Y1t	Y2t

Таблица 9

Рис. 10. Временной ряд после первого применения
процедуры простого сглаживания (Y_{1 t})

 

Рис.11. Временной ряд после второго применения
процедуры простого сглаживания (Y_t2)

 

 

Рис. 12

 

Следующий этап заключается в удалении тренда из исходного временного ряда.

Для удаления тренда вычтем из каждого элемента первоначального ряда значения, рассчитанные по модели тренда. Полученные значения представим графически на рис.13.

Рис. 13

 

Полученные остатки, как видно из рис. 13, группируются около нуля, а это значит, что ряд близок к стационарному.

Для построения гистограммы распределения остатков рассчитывают интервалы группирования остатков ряда. Количество интервалов определяют из условия среднего попадания в интервал 3-4 наблюдения. Для нашего случая возьмем 8 интервалов. Размах ряда (крайние значения) от –40 до +40. Ширина интервала определяется как 80/8 =10. Границы интервалов рассчитываются от минимального значения размаха полученного ряда

-40	-30	-20	-10

Теперь определим накопленные частоты попадания остатков ряда в каждый интервал и нарисуем гистограмму (рис.14).

 

Рис. 14

 

Анализ гистограммы показывает, что остатки группируются около 0. Однако в области от 30 до 40 есть некоторый локальный выброс, который свидетельствует о том, что не учтены и не удалены из исходного временного ряда некоторые сезонные или циклически компоненты. Более точно о характере распределения и его принадлежности к нормальному распределению можно сделать выводы после проверки статистической гипотезы о характере распределения остатков. При ручной обработке рядов обычно ограничиваются визуальным анализом полученных рядов. При обработке на ЭВМ существует возможность более полного анализа.

Что же является критерием завершения анализа временного ряда? Обычно исследователи используют два критерия, отличающихся от критериев качества модели при корреляционно-регрессионном анализе.

Первый критерий качества подобранной модели временного ряда основан на анализе остатков ряда после удаления из него тренда и других компонент. Объективные оценки основаны на проверке гипотезы о нормальном распределении остатков и равенстве нулю выборочного среднего. При ручных методах расчета иногда оценивают показатели ассиметрии и эксцесса полученного распределения. Если они близки к нулю, то распределение считается близким к нормальному. Ассиметрия, А рассчитывается как:

 

 

В том случае, если A < 0, то эмпирическое распределение несимметрично и сдвинуто вправо. При A > 0 распределение имеет сдвиг влево. При A = 0 распределение симметрично.

Эксцесс, Е. Показатель, характеризующий выпуклость или вогнутость эмпирических распределений

В том случае, если Е больше или равно нулю, то распределение выпукло, в других случаях вогнуто.

Второй критерий основан на анализе коррелограммы преобразованного временного ряда. В том случае, если корреляции между отдельными измерениями отсутствуют или меньше заданного значения (обычно 0.1) считается, что все компоненты ряда учтены и удалены и остатки не коррелированы между собой. В остатках ряда осталась некая случайная компонента, которая называется «белый шум».

Резюме

 

Применение методов анализа временных рядов в экономике позволяет сделать обоснованный прогноз изменения исследуемых показателей при определенных условиях и свойствах временного ряда. Временной ряд должен быть достаточного объема и содержать не менее 4 циклов повторения исследуемых процессов. Кроме того, случайная компонента ряда не должна быть соизмеримой с другими циклическими и сезонными компонентами ряда. В этом случае получаемые оценки прогноза имеют практический смысл.

 

 

Литература

 

Основная:

 

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. Акад. нар. хоз-ва при Правительстве РФ. – М.: Дело, 1997. – 245 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.

Дополнительная:

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: Юнити, 1998. – 1022 с.

2. Многомерный статистический анализ в экономике / Под ред. В.Н. Тамашевича. – М.: Юнити-Дана, 1999. – 598 с.

3. Айвазян С.А., Енюков Й.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М.: Финансы и статистика, 1983.

4. Айвазян С.А., Енюков Й.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985.

5. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков С.А., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. – М.: Финансы и статистика, 1989.

6. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. – М.: Статистика, 1979.

7. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. – М.: Финансы и статистика, 1981.

8. Джонстон Д. Эконометрические методы. – М.: Статистика, 1980.

9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. В 2-х кн. – М.: Финансы и статистика, 1986.

10. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.

11. Андерсон Т. Cтатистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976.

12. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. (Вып. 1, 2). – М.: Мир, 1972.

13. Дженкинс Г., Ваттс Д. Cпектральный анализ и его применения. – М.: Мир, 1971.

14. Гренджер К., Хатанака М. Cпектральный анализ временных рядов в экономике. – М.: Статистика, 1972.

15. Кендэл М. Временные ряды. – М.: Финансы и статистика, 1981.

16. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. – М.: Наука, 1979.

17. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. – М.: Статистика, 1977.

18. Ермаков C.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. – М.: Наука, 1982.

19. Лоули Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод. – М.: Мир, 1967.

20. Розин Б.Б. Теория распознавания образов в экономических исследованиях. – М.: Статистика, 1973.

21. Справочник по прикладной статистике. – М.: Финансы и статистика, 1990.

22. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.

23. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. – М.: Наука, 1980.

Обзор литературы по статистическим пакетам:

 

1. Кузнецов С.Е. Халилеев А.А. Обзор специализированных статистических пакетов по анализу временных рядов. – М.: Статдиалог, 1991.

Приложение 1

 

Методические указания по выполнению задания 1

 

Номер варианта определяется по номеру студента в списке в зачетной или экзаменационной ведомостях. При выполнении задания необходимо использовать методику расчета, приведенную во втором разделе пособия при решении задачи построения математической модели зависимости расходов на питание от величины душевого дохода в семье. Все расчета должны быть приведены в табличном виде. Выводы должны быть аргументированы.

Задание 1. Разработка и анализ эконометрической модели

 

В таблице 1 представлены статистические данные о расходах на питание различных групп населения в зависимости от уровня их суммарных доходов в месяц (числа относительные).

 

Требуется:

1. Построить линейную однофакторную модель зависимости между доходами семьи и расходами на продукты питания.

2. Оценить тесноту связи между доходами семьи и расходами на продукты питания.

3. Рассчитать коэффициенты детерминации и эластичности пояснить их экономический смысл, оценить точность модели.

Таблица 1

Вариант 1

Доходы семьи (х)	2.4	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.1

 

Вариант 2

Доходы семьи (х)	2.2	2.4	2.8	3.4	3.6	4.1	4.6	4.8	5.4	6.5
Расходы на продукты питания (y)	1.4	1.5	1.55	1.6	1.7	1.8	2.1	2.2		3.4

Вариант 3

Доходы семьи (х)	1.5	1.8	1.9	2.4	2.8	3.1	3.9	4.1	4.8
Расходы на продукты питания (y)	0.8	0.9	1.2	1.5	1.8	1.9	2.2	2.5	2.8	3.4

Вариант 4

Доходы семьи (х)	2.0	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	7.5
Расходы на продукты питания (y)	1.1	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.4

Вариант 5

Доходы семьи (х)	1.6	1.8		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1	4.8
Расходы на продукты питания (y)	0.8	0.9	1.2	1.5	1.8	1.9	2.1	2.5	2.8	3.7

Вариант 6

Доходы семьи (х)	2.4	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4
Расходы на продукты питания (y)	1.15	1.3	1.4	1.45	1.7	1.77	2.1	2.2		3.8

Вариант 7

Доходы семьи (х)	1.4	1.8		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1	4.8
Расходы на продукты питания (y)	0.8	0.9	1.2	1.5	1.6	1.9	2.1	2.5	2.8	3.2

Вариант 8

Доходы семьи (х)	1.9	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	6.7
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.4

Вариант 9

Доходы семьи (х)	2.8	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4
Расходы на продукты питания (y)	1.7	1.6	1.8	1.95	2.1	2.3	2.6	2.8		3.5

Вариант 10

Доходы семьи (х)	2.4	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	6.8
Расходы на продукты питания (y)	0.8	1.2	1.25	1.3	1.45	1.4	1.5		2.2	2.4

Вариант 11

Доходы семьи (х)	2.3	3.2	3.4	3.6	4.5		5.6	5.8	6.4
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.3	1.4	1.45	1.7	1.75	2.1	2.2		3.4

Вариант 12

Доходы семьи (х)	2.1	3.2	3.4	3.6	4.2	5.1	5.6	5.8	6.4	6.6
Расходы на продукты питания (y)	1.05	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.4

Вариант 13

Доходы семьи (х)	1.6	1.7		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1	4.8
Расходы на продукты питания (y)	0.56	0.66	1.2	1.5	1.8	1.9	2.1	2.5	2.8	3.3

Вариант 14

Доходы семьи (х)	2.15	3.15	3.4	3.9	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	6.8
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.1

Вариант 15

Доходы семьи (х)	1.6	1.8		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1	4.8	5.2
Расходы на продукты питания (y)	0.5	0.9	1.25	1.5	1.8	1.9	2.1	2.5	2.8	3.8

Вариант 16

Доходы семьи (х)	2.1	3.2	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.3	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.2		3.1

Вариант 17

Доходы семьи (х)	1.5	1.8		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1
Расходы на продукты питания (y)	0.62	0.9	1.2	1.6	1.8	1.9	2.1	2.5	2.8	3.7

Вариант 18

Доходы семьи (х)	2.3	3.2	3.3	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	6.6
Расходы на продукты питания (y)	1.2	1.25	1.4	1.5	1.7	1.8	2.1	2.2		3.4

Вариант 19

Доходы семьи (х)		3.25	3.4	3.6	4.5	5.1	5.6	5.8	6.4	6.5
Расходы на продукты питания (y)	1.12	1.35	1.4	1.45	1.7	1.8	2.1	2.22		3.3

Вариант 20

Доходы семьи (х)	0.87	1.64		2.4	2.8	3.1	3.5	4.1	4.8
Расходы на продукты питания (y)	0.75	0.9	1.2	1.5	1.8	1.9	2.1	2.5	2.8	3.4

 

 

Приложение 2

Методические указания по выполнению задания 2

 

Для выполнения задания выбрать вариант, соответствующий номеру студента в списке в зачетной или экзаменационной ведомостях. При выполнении задания необходимо использовать методику расчета, приведенную в разделе 3.7 настоящего пособия. При выполнении задания ручным способом ограничиться графическими методами анализа и определением и выделением тренда в исходном временном ряду. Выводы аргументировать.

 

Задание 2. Прогнозирование динамики экономических процессов
методами анализа временных рядов

 

В таблице 2 приведены данные продаж продовольственных товаров в магазине. Разработать модель продаж и провести прогнозирование объема продаж на первые 6 месяцев 1996 года. Выводы обосновать.

Таблица 2

Объем продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г.
в относительных единицах

 

Дата

1/1/93

1/2/93

1/3/93

1/4/93

1/5/93

1/6/93

1/7/93

1/8/93

1/9/93

1/10/93

1/11/93

1/12/93

1/1/94

1/2/94

1/3/94

1/4/94

1/5/94

1/6/94

1/7/94

1/8/94

1/9/94

1/10/94

1/11/94

1/12/94

1/1/95

1/2/95

1/3/95

1/4/95

1/5/95

1/6/95

1/7/95

1/8/95

1/9/95

1/10/95

1/11/95

Приложение 3

 

Краткое содержание программы дисциплины
«Эконометрика»

 

 

Цель дисциплины - ознакомление с основными принципами применения математической статистики в экономике.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Основные задачи, цели и последовательность проведения
эконометрического анализа

 

Содержание и область исследования эконометрики. Краткая история развития эконометрики. Классификация эконометрических моделей. Регрессионный анализ как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений. Роль линейных моделей в экономике. Виды регрессионных моделей. Модели временных рядов. Постановки некоторых эконометрических задач. Последовательность разработки эконометрических моделей.