Длина и направляющие косинусы вектора. Координаты вектора через координаты точек его начала и конца.

|а|= длина вектора

Направление вектора определяется углами которые этот вектор образует с базисными векторами.

Cos =

Cos =

Cos = --направляющие косинусы; -координаты вектора

 

Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения.

 

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

 

Свойства скалярного произведения:

1. a*b=b*a

a*b

2. Пр_b^a= ──

| b|

3. |a|=корень a*a

4. a*b=0

5. a*(b+c)=a*b+a*c

6. a*(α*b)=(α*a)*b=α*(a*b)

 

Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

 

Пусть вектор:

в =

Тогда вектор а * в = x1x2+y1y2+z1z2 –ФОРМУЛА

 

19. Общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть на прямой дана точка Mo(xo,yo) и вектор n(А;В) перпендикулярно этой прямой. Тогда уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:

А(х-хo)+В(у-уо)=0

Ах-Ахо+Ву-Вуо=0

-Ахо-Вуо=С

 

Ах+Ву+С=0-общее уравнение прямой. А(А;В)-вектор.

 

 

Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каноническое уравнение прямой. Пусть на прямой дана точка Мо(хо;уо) и известен вектор S(а;в) параллельный этой прямой. Тогда уравнение прямой имеет вид: -кононическое уравнение прямой.

S(a;в)-направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор не может быть 0, однако 1 из его координат может быть равен 0.

Уравнение с угловым коэффициентом: у=kx+в

 

 

Эллипс (определение, каноническое уравнение, свойства, построение).

 

 

Эллипс — геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

 

Каноническое уравнение:

 

Свойства:

1) Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

2) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

3) Эллипс имеет центр симметрии.

4) Эллипс может быть получен сжатием окружности.

5) Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

 

 

Гипербола (определение, каноническое уравнение, свойства, построение).

Гипербола — геометрическое место точек, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно.

причем

 

 

Каноническое уравнение:

 

 

Свойства:

1) Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.

2) Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

3) Гипербола имеет центр симметрии.

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

4) Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

 

 

Парабола (определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение).

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение:

Свойства:

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

 

 

Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей

Общее уравнение плоскости:

A x + B y + C z + D = 0

 

 

Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее уравнение прямой: