Основні термодинамічні процеси

ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ

6.1. Загальні питання дослідження процесів

 

До основних термодинамічних процесів, що мають велике значення для аналізу роботи технічних систем, відносяться такі:

ізохорний – це процес, що відбувається при незмінному об’ємі

ізобарний – це процес, що відбувається при незмінному тиску

ізотермічний – це процес, що відбувається при незмінній температурі

адіабатний – це процес, що відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем.

Крім того існує величезна група процесів, які характеризуються незмінною теплоємністю процесу та називаються політропними. До цієї групи відносяться також і названі основні процеси.

Дослідження всіх процесів будемо проводити за однією методикою, яка полягає в наступному:

– встановлюється рівняння, що пов’язує між собою основні термодинамічні параметри на початку та в кінці процесу і виводиться рівняння кривої процесу для і –діаграм;

– визначається зміна внутрішньої енергії, ентальпії та ентропії в процесі;

– визначаються робота розширення газу в процесі та тепло процесу;

– будуються графіки процесів у і – координатах.

 

Ізохорний процес

Ізохорним називається процес, що відбувається при незмінному об’ємі. Зв’язок між основними термодинамічними параметрами газу в цьому процесі встановлюється безпосередньо з рівняння стану ідеального газу:

 

звідси при

Отже

тобто, в ізохорному процесі тиск газу змінюється пропорційно температурі.

Зміну внутрішньої енергії газу в процесі визначаємо за рівнянням (4.3), яке вірне для будь-якого процесу:

Зміну ентальпії в процесі визначаємо за рівнянням (5.5), яке вірне для будь-якого процесу:

Для отримання рівняння зміни ентропії в процесі скористаємося рівнянням (5.8):

З нього при випливає

Питома робота розширення газу в процесі, яка згідно з рівнянням (3.11)

Питоме тепло процесу при сталій теплоємності

 

тобто при ,

 

це означає, що все тепло, підведене в процесі, витрачається на зміну внутрішньої енергії газу.

Графік ізохорного процесу називається ізохорою. В координатах ізохора являє собою вертикальну пряму, рівняння якої (рис. 6.1). Якщо в процесі тиск газу зростає, то це означає, що в цьому процесі підводиться теплота, наслідком чого є зростання температури газу і його внутрішньої енергії. При зменшенні тиску від газу відводиться тепло, зменшується його температура та внутрішня енергія. На рис. 6.1 процес 1–2 – це процес ізохорного нагрівання, процес 1–3 – процес ізохорного охолодження.

В координатах ізохора відображається логарифмічною кривою відповідно до рівняння (6.2). На рис. 6.2 зображені ізохори питомих об’ємів , а також показані процеси нагрівання 1–2 і охолодження 1–3, що відбуваються при питомому об’ємі . Площі 1-2-4-5-1 та 1-3-6-5-1 еквівалентні підведеному та відведеному в процесах теплу відповідно.

 

 

У цій координатній системі ізохори різних об’ємів є еквідистантними кривими, тобто такими, горизонтальна відстань між якими залишається незміною при різних температурах і які мають однакові кутові коефіцієнти при одній і тій же температурі.

Рис. 6.2. Ізохорний процес в координатах

Очевидно (рис. 6.2), що горизонтальна відстань між двома ізохорами дорівнює зміні ентропії в термодинамічному процесі, що відбувається між ізохорами при незмінній температурі, наприклад, у процесі 1–7. З рівняння (5.8) випливає, що ця зміна при

 

 

тобто вона дійсно не залежить від температури, а ізохори еквідистантні.

Рівняння (6.3) вказує на те, що відстань між ізохорами збільшується при зростанні кінцевого об’єму, отже чим більший питомий об’єм газу, тим далі від осі ординат буде знаходитися ізохора.

 

Ізобарний процес

Ізобарним називається процес, що відбувається при незмінному тиску. Зв’язок між основними термодинамічними параметрами газу в цьому процесі можна встановити безпосередньо з рівняння стану ідеального газу:

 

звідси при

Отже

 

тобто, в ізобарному процесі питомий об’єм газу змінюється пропорційно абсолютній температурі.

При розширенні газу його температура зростає, при стисканні – зменшується.

Зміну внутрішньої енергії газу в процесі визначаємо за рівнянням (4.3), яке вірне для будь-якого процесу:

 

 

Зміну ентальпії в процесі визначаємо за рівнянням (5.5), яке вірне для будь-якого процесу:

Зміну ентропії в оборотному ізобарному процесі при сталій теплоємності можна знайти з рівняння (5.10):

 

 

З нього при випливає, що

Питома робота розширення газу в процесі визначається за рівнянням

або

Питоме тепло процесу при сталій теплоємності

 

тобто при ,

 

це означає, що все тепло, підведене в процесі, витрачається на зміну ентальпії газу.

 

Рис. 6.3. Графіки ізобарних процесів

 

Графік ізобарного процесу називається ізобарою. В координатах ізобара являє собою горизонтальну пряму, рівняння якої (рис. 6.3, а). Якщо в процесі газ розширюється, тобто зростає його об’єм, то газ виконує зовнішню роботу, до нього підводиться тепло та підвищується його температура. Зменшення об’єму газу відбувається при виконанні над ним роботи, відводі від нього тепла і зниженні температури. На рис. 6.3, а процес 1–2 – це процес ізобарного розширення газу, процес 1–3 – процес ізобарного стискання газу. Площа 1-2-B-A- 1 еквівалентна роботі, що виконує газ, площа 1-3-С-А-1 еквівалентна роботі, яка виконується над газом.

В координатах ізобара відображається логарифмічною кривою відповідно до рівняння (6.4). На рис. 6.3, б зображені ізобари, що відповідають тискам , а також показані процеси нагрівання 1–2 та охолодження 1–3, що відбуваються при тиску . Площа 1-2-4-5-1 еквівалентна підведеному в процесі теплу, площа 1-3-6-5-1 еквівалентна теплу, відведеному в процесі.

В координатах ізобари для різних тисків являють собою еквідистантні криві з рівними кутовими коефіцієнтами при однакових температурах, тобто горизонтальна відстань між двома ізобарами при різних температурах не змінюється. Ця відстань дорівнює зміні ентропії в процесі зі сталою температурою, що відбувається між тисками, яким відповідають ці ізобари, наприклад, в процесі 1–7 на рис. 6.3, б. Згідно з рівнянням (5.10), зміна ентропії в цьому процесі при

 

 

тобто вона дійсно не залежить від температури, а визначається лише величинами тисків та природою газу. Це підтверджує еквідистантність ізобар в координатах .

З рівняння (6.8) випливає, що при це означає, що в цьому разі ізобара буде знаходитися ліворуч від ізобари тобто чим більший тиск газу, тим ближчою до осі ординат буде ізобара.

Співставляючи рівняння (6.2) і (6.5) приходимо до висновку, що при виконанні ізохорного та ізобарного процесів у одному й тому ж температурному інтервалі, зміна ентропії буде більшою в ізобарному процесі через те, що завжди

 

Наслідком цього є те, що в координатах ізобари є більш пологими лініями, ніж ізохори.

 

Ізотермічний процес

Ізотермічним називається процес, що відбувається при незмінній температурі. Рівняння цього процесу безпосередньо випливає з рівняння стану ідеального газу:

звідси при

 

Отже

 

тобто при сталій температурі об’єм газу змінюється зворотно пропорційно його тиску.

Відповідно до рівнянь (4.3) і (5.5) внутрішня енергія та ентальпія газу в ізотермічному процесі не змінюються, тобто

 

Зміну ентропії в ізотермічному процесі можна визначити за рівняннями (6.3) або (6.8):

 

Питома робота розширення газу в процесі визначається за рівнянням

Виразимо в підінтегральному виразі тиск через питомий об’єм виходячи з рівняння ізотермічного процесу. Відповідно до цього рівняння

 

,

звідси

 

Підставляючи знайдене значення в підінтегральний вираз і інтегруючи отримане рівняння, маємо:

З урахуванням (6.9)

Питоме тепло процесу знайдемо за рівнянням першого закону термодинаміки (3.6)

Так як в ізотермічному процесі зміна внутрішньої енергії газу , то в цьому процесі

це означає, що все тепло, підведене до газу в ізотермічному процесі, витрачається ним на виконання зовнішньої роботи розширення.

Питоме тепло в ізотермічному процесі можна визначити також за рівнянням

 

Графік ізотермічного процесу називається ізотермою. В координатах ізотерма відображається рівнобічною гіперболою відповідно до рівняння (6.9) (рис. 6.3, а). Якщо в процесі газ розширюється, то він виконує зовнішню роботу і до нього підводиться тепло. Зменшення об’єму газу відбувається при виконанні над ним роботи та відводі від нього тепла. На рис. 6.3, а процес 1–2 – це процес ізотермічного розширення газу, процес 1–3 – процес ізотермічного стискання газу. Площа 1-2-А-B-1 еквівалентна роботі, що виконує газ, площа 1-3-С-B-1 еквівалентна роботі, яка виконується над газом.

 

а) б)

Рис. 6.4. Графіки ізотермічного процесу

 

В координатах ізотерма являє собою горизонтальну пряму, рівняння якої (рис. 6.3, б). Процес 1–2 на рис. 6.3, б – це процес ізотермічного розширення газу, процес 1–3 – процес ізотермічного стискання газу. Площа 1-2-4-5-1 еквівалентна питомому теплу, яке підводиться до газу при його розширенні, площа 1-3-6-5-1 еквівалентна питомому теплу, яке відводиться від газу при його стисканні.

 

Адіабатний процес

Адіабатним називається процес, що відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем, тобто тепло цього процесу

Для отримання рівняння адіабатного процесу скористаємося рівняннями першого закону термодинаміки – згідно з (5.3) в адіабатному процесі

 

 

згідно з (3.7)

Враховуючи (4.2) і (5.6), маємо

Розділимо перше з останніх рівнянь на друге:

Як відмічалося раніше, відношення

називається показником адіабати. З урахуванням цього та розділяючи перемінні маємо

Інтегруючи цей вираз, отримуємо

.

Звідси після потенцірування

 

Отже, для адіабатного процесу

 

 

 

Враховуючи, що за рівнянням стану ідеального газу

 

з рівнянь (6.15) отримуємо:

 

 

 

Зміну внутрішньої енергії газу в процесі визначаємо за рівнянням (4.3):

 

 

Зміну ентальпії в процесі визначаємо за рівнянням (5.5):

 

За визначенням елементарна зміна ентропії в процесі

 

Тому в адіабатному процесі, для якого

 

 

Через це оборотний адіабатний процес називають ізоентропним.

Роботу розширення в адіабатному процесі можна знайти за рівнянням першого закону термодинаміки:

 

Беручи до уваги, що в процесі , маємо

 

 

З цього випливає, що в адіабатному процесі газ виконує роботу за рахунок своєї внутрішньої енергії, тобто при розширенні газу його внутрішня енергія та температура зменшуються.

З іншого боку питома робота розширення газу в процесі визначається за рівнянням

Виразимо в підінтегральному виразі тиск через питомий об’єм виходячи з рівняння адіабатного процесу. Відповідно до цього рівняння

 

,

звідси

 

Підставляючи знайдене значення в підінтегральний вираз і інтегруючи отримане рівняння, маємо:

 

 

З урахуванням співвідношень (6.15) і (6.16)

 

 

 

а) б)

 

Рис. 6.5. Графіки адіабатного процесу

 

Графік адіабатного процесу називається адіабатою. В координатах адіабата відображається нерівнобічною гіперболою відповідно до рівняння (6.14) (рис. 6.3, а). При розширенні газ виконує роботу і температура його зменшується. При стиканні робота виконується над газом і це супроводжується зростанням його температури. На рис. 6.4, а процес 1–2 – це процес адіабатного розширення газу, процес 1–3 – процес адіабатного стискання газу. Площа 1-2-А-B-1 еквівалентна роботі, що виконує газ, площа 1-3-С-B-1 еквівалентна роботі, яка виконується над газом.

Порівнюючи рівняння адіабати (6.14) з рівнянням ізотерми (6.9) приходимо до висновку, що графік адіабати є крутішим у порівнянні з графіком ізотерми через те, що

В координатах адіабата являє собою вертикальну пряму, рівняння якої (рис. 6.3, б). Процес 1–2 на рис. 6.3, б – це процес адіабатного розширення газу, процес 1–3 – процес адіабатного стискання газу.

 

Політропні процеси

Важливе місце в термодинаміці займають процеси, об’єднуючою ознакою яких є незмінність теплоємності процесу. Ці процеси називаються політропними, що означає закономірні.

Встановимо рівняння політропного процесу, для якого теплоємність

Для цього скористаємося рівняннями першого закону термодинаміки у формах (5.3) і (3.7), пам’ятаючи, що тепло політропного процесу

 

 

Отже

 

 

З цих рівнянь маємо:

 

Розділимо перше з останніх рівнянь на друге:

Позначимо

Цей комплекс називається показником політропного процесу. З урахуванням цього позначення та розділивши перемінні, маємо

 

Інтегруючи цей вираз, отримуємо

.

Звідси після потенцірування

Отримане рівняння називається рівнянням політропного процесу. Порівнюючи його з рівнянням адіабатного процесу (6.14) приходимо до висновку, що ці рівняння формально однакові – вони відрізняються лише показником процесу. Через це всі співвідношення між основними параметрами стану, отримані для адіабатного процесу, справедливі також і для політропного процесу після заміни в них показника адіабати на показник політропного процесу Отже, для політропного процесу

 

 

 

 

Зміну внутрішньої енергії газу в процесі визначаємо за рівнянням (4.3):

 

 

Зміну ентальпії в процесі визначаємо за рівнянням (5.5):

 

 

Зміна ентропії в політропному процесі, як і в будь якому іншому

 

Інтегруючи цей вираз у межах від до , знаходимо зміну у процесі в кінцевому вигляді:

 

 

Теплоємність політропного процесу знайдемо з рівняння (6.19). З нього випливає:

 

Враховуючи, що

маємо

Звідси

 

Тоді з (6.22) для політропного процесу

 

 

Робота зміни об’єму, що виконує газ у політропному процесі, визначається за рівняннями, аналогічними рівнянням для адіабатного процесу, тобто

 

або

 

 

 

Питоме тепло в політропному процесі

 

або в кінцевому вигляді

 

Графік політропного процесу називається політропою. Вигляд політропи визначається величиною показника процесу .

У загальному випадку показник політропи може приймати будь-яке значення з діапазону

Отже і теплоємність політропного процесу змінюється в цьому ж діапазоні, тобто

Окремими випадками політропних процесів є розглянуті раніше основні термодинамічні процеси. У таблиці 6.1 наведені значення показника політропи та значення теплоємкостей цих процесів.

 

Таблиця 6.1.

Вид процесу	Показник політропи	Теплоємність процесу
Ізохорний
Ізобарний
Ізотермічний
Адіабатний