Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределённости (игры с природой)

Выше рассмотренная задача из теории игр предполагала выбор оптимальной стратегии в условиях риска. Это ситуации, когда игрок знает вероятности наступления исходов и последствий для каждого решения.

Совсем другая ситуация наступает, когда эти вероятности не известны, т.е. имеет место полная неопределённость в отношении возможности реализации состояния среды. В этом случае игру можно представить таким образом, что в ней имеется один игрок и некая действительность, называемая природой. Условия такой игры обычно представляется такой же платёжной матрицей, что и раньше, в которой строки представляют стратегии игрока, а столбцы – стратегии природы.

В данном случае при выборе наилучшего решения обычно используют следующие критерии:

1. Максимаксный критерий, или критерий крайнего оптимизма – определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы, т.е. выбирается стратегия, которой соответствует

.

2. Максиминный критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма – определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы, т.е. выбирается стратегия, которой соответствует

.

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Согласно этому критерию выбирается стратегия, при которой величина риска в наихудших условиях минимальна, т.е. равна

.

Здесь риск = () – .

4. Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия

+ (1 – k) }.

Значение коэффициента пессимизма k выбирается исследователем между нулём и единицей из практических соображений.

5. Критерий безразличия Лапласа. В условиях полной неопределённости предполагается, что все возможные среды (природы) равновероятны. Этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом, т.е.

.

Если известны вероятности реализации для всех состояний среды, можно определить ожидаемую стоимостную оценку EMV для каждой альтернативы. Один из наиболее распространённых критериев выбора альтернативы – максимальная EMV.

Для каждой альтернативы ожидаемая стоимостная оценка EMV есть сумма всевозможных выигрышей для этой альтернативы, умноженных на вероятности реализаций этих выигрышей:

EMV() = .

Максимальная EMV в случае равных вероятностей совпадает с критерием безразличия Лапласа.

Проиллюстрируем эти положения на следующем примере, реализованном в модуле Decision Analysis/Decision Tables.

На рисунке 4.6 просчитаны почти все описываемые критерии, кроме критерия минимаксного риска Сэвиджа, который рассчитан на рисунке 4.7.

Из обозначений строк и столбцов очевидны те или иные критерии. Так, например, в столбце EMV (рисунок 4.6) внизу показана максимальная EMV. Кроме того, внизу этого рисунка прописаны значения конкретных критериев и указано, на каких альтернативах они реализованы.

Рисунок 4.6 – Окно отчёта о решении задачи анализа решений

Рисунок 4.7 – Окно отчёта о вычислении критерия минимаксного риска Сэвиджа

На рисунке 4.7 показаны расчёты критерия минимаксного риска Сэвиджа (он равен 4 и реализован второй альтернативой).

 

Задания к выполнению лабораторной работы №4

Необходимо выполнить анализ всех задач, описанных в этом разделе.

Исходную информацию для выполнения лабораторной работы возьмёте из задания по транспортной задаче. Игра должна быть 4х4. Матрица транспортных расходов – это три стратегии игрока А. Четвёртую стратегию этого игрока составит строка потребностей (последняя строка, не включённая в матрицу транспортных расходов).

Для решения задачи графическим методов выберите две активные стратегии игрока А с минимальными частотами.

Для анализа игры с природой возьмите эту же платёжную матрицу.

 

Лабораторная работа №5

Системы массового обслуживания

 

Общие сведения

Существует широкий класс задач, с которыми приходится постоянно сталкиваться в повседневной и хозяйственной деятельности, где имеют место процессы, приводящие к задержкам в обслуживании и очередям. Системы, в которых протекают указанные процессы, получили название систем массового обслуживания (МО), а математическим описанием или разработкой математических моделей процессов, протекающих в них, занимается теория МО.

В процессе изучения очередей сначала необходимо обращать внимание на следующие основные её компоненты: входящий поток требований, каналы обслуживания, наличие очереди и выходящий поток. Эти составляющие не требуют разъяснения, за исключением дисциплины очереди. Последнее – это просто правило обслуживания. В дальнейшем мы будем рассматривать правило: первый пришёл, первый обслуживается. Системы МО связаны с двумя видами издержек: издержки обслуживания, увеличивающиеся при повышении уровня обслуживания, и издержки, связанные с ожиданием, уменьшающиеся с увеличением уровня обслуживания. Как известно, существует точка минимума общих издержек системы МО.

Определение оптимального уровня обслуживания, минимизирующего суммарные издержки системы МО, и является одной из основных задач при разработке и эксплуатации систем МО.