Вопрос№4. Силовые линии электрического поля. Поток вектора. Электрическая теорема Гаусса и ее применение для расчетов полей.

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора . Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль которой образует угол с вектором , равно , где – проекция вектора на нормаль к площадке dS.

Величина называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Единица потока вектора напряженности электростатического поля 1 . Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора через эту поверхность , где интеграл берется по замкнутой поверхности S.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре .

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора будет равен , т. е.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Рассмотрим применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме:

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью ( – заряд приходящийся на единицу поверхности). Согласно теореме Гаусса, , откуда

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями и . Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой , а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью . по теореме Гаусса откуда

().

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. Если r' < R, тo замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

Поле объемно заряженного шара.

Напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой: (),

а внутри его изменяется линейно с расстоянием согласно выражению ( ).

 

 

Вопрос№5.Работа электрического поля. Теорема о циркуляции напряженности электрического поля. Потенциал. Эквипотенциальная поверхность. Связь потенциала с напряженностью.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд , то сила, приложенная к заряду, совершает работу.

Работа силы на элементарном перемещении dl равна

.

Так как , то .

Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

.

Силовое поле, обладающее свойством

,

называется потенциальным. Интеграл, стоящий в левой части соотношения наз. циркуляцией вектора Е вдоль замкнутого контура L. Итак, циркуляция вектора напряженности электростатического поля точечного заряда q вдоль произвольного замкнутого контура проведенного в поле, равна нулю. Условие является необходимым и достаточным для того, чтобы поле напряженностью Е было потенциальным.

Формула

справедлива только для электростатического поля.