Основная формула теории управления с обратной связью и ее приложения. Мультипликатор Кейнса.

Пусть обратная связь осуществляется с коррекцией сигнала на основе дополнительного элемента системы - регулятора (корректора) .

Схема 8. Управление с обратной связью и регулятором.

Т.о., входной поток теперь увеличивается и становится . Считая, что и - некоторые числа, выведем формулу для выходного потока :

,если , то

. (1)

Формула (1) – основная формула теории регулирования.

, где

- коэффициент усиления новой системы, влияние преобразователя на вход. Новая система представлена на схеме 8 – такое соединение элементов назовем контуром

 

Схема 9. Система с контуром

Схема системы с обратной связью любой сложности представима в виде трех элементов: контура, последовательного соединения узлов и параллельного.

В случае последовательного соединения имеем

 

 

 

.

При параллельном соединении узлов сложной системы:

 

 

.

Рассмотрим случай, когда , , - функции, зависящие от времени, - нелинейные, гладкие функции. Нелинейная зависимость сводится к основной теории в терминах производной.

 

, .

Получаем .

Т.о. для нелинейной зависимости мы получаем аналоговую формулу теории управления с обратной связью для скоростей изменения входного и выходного потоков().

Мультипликатор Кейнса.

Рассмотрим систему, состоящую из объекта управления (ОУ), субъекта управления (СУ) и внешней среды.

 

 

 

Из внешней среды в ОУ под наблюдением СУ направляются ресурсы в размере , а также неизвестное ОУ случайное воздействие со стороны внешней среды , - входной поток от СУ к ОУ.

Пусть на ОУ поступают определенные финансовые ресурсы , которые используются на накопление (капиталовложение) и потребление : . Тогда прирост финансовых ресурсов распределяется следующим образом , в то же время финансовые ресурсы увеличиваются при увеличении инвестиций , - величина прироста финансового ресурса приходящегося на единицу прироста накоплений. Получаем ,

где - предельная склонность к потреблению, доля прироста потребления во всем приросте финансов.

Т.о. , т.е. увеличивая долю потребления, мы повышаем эффективность инвестиций – парадокс Кейнса. Величина - мультипликатор Кейнса. Чем больше предельная склонность к потреблению, тем выше коэффициент мультипликации. Величина мультипликации — это результат прироста доходов и соответственно спроса в инвестиционных и сопряженных с ними отраслях.

Схема системы имеет вид

Схема 9. Мультипликатор Кейнса

Т.о. основная формула теории регулирования (1) в данном случае записывается

(2).

Пример 1. Рассмотрим экономическую систему, в которой предполагается, что экономический цикл повторяется неограниченное число раз. Кроме того, в каждом периоде инвестиции постоянны и равны , а потребление составляет постоянную долю () от конечного продукта , произведенного в предыдущем периоде.

,

,

,

…

,

Тогда предельный прирост конечного продукта рассчитывается по основной формуле теории регулирования .

Данная модель предложена Каном и Кларком.

Пример 2. Рассмотрим модель Леонтьева в матричном виде .

Очевидно, что функционирование экономической системы, описываемой моделью Леонтьева, может быть представлена следующей схемой с контуром

 

 

 

,здесь -матрица полных затрат.

Пример 3.

Экономическая система выпускает продукцию , используя основной капитал и трудовые ресурсы . Финансовый ресурс на начало года формирует основной капитал и потребление в году . С другой стороны, финансовый ресурс в конце года учитывает выпущенную в году продукцию и капитал : . Прирост финансовых средств пропорционален приросту капитала . Необходимо рассчитать мультипликатор Кейнса.

Выпишем модель, соответствующую сформулированной задаче.

Полученная модель называется моделью Лурье. Рассчитаем мультипликатор Кейнса. , - предельная склонность к потреблению (доля прироста потребления в приросте финансовых средств).

Пример 4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

Обозначим - подсистему из усилителей , тогда для системы получаем . Для исходной системы подсистема является регулятором и, согласно основной формуле теории регулирования, получаем

.

Задачи

1. Рассматривается система с контуром. Коэффициент усиления входного сигнала . Каким должен быть усилитель , чтобы входной сигнал усиливался в 100 раз.

2. Необходимо с помощью контура усилить сигнал в раз, при этом плата за усиление в системе равна , в регуляторе - . Каковы оптимальные усиления и . (Замечание: считается, что , , -заданные параметры).

3. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

5. Рассчитайте предельную склонность к потреблению и мультипликатор Кейнса по модели Лурье для отрасли «Сельское хозяйство» Воронежской области, если известны следующие характеристики отрасли: производственная функция – функция Кобба-Дугласа с параметрами , , . тыс.руб. Ресурсы отрасли приведены в таблице (в тыс.руб.).