Основы проектирования систем.

Основные понятия и факты. Простейший описатель системы

В настоящее время нет единого определения понятия «система». Основоположник теории систем Людвиг фон Берталанфи определял систему как комплекс взаимодействующих элементов или как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой. А. Холл понимал под системой множество предметов вместе со связями между предметами и между их признаками. Начиная с основоположника кибернетики У.Р.Эшби в определение понятия «система» наряду с элементами, связями и их свойствами и целями начинают включать наблюдателя.

Под системой () будем понимать совокупность элементов, вступающих в отношения друг с другом и обладающих целостностью и единством.

Элемент () – неделимая часть системы, определяемая на основе заранее введенных общих принципов, для которых известны основные характеристики. - множество элементов системы. Элемент является пределом разбиения системы с точки зрения решения конкретной задачи и поставленной цели. Элементы системы могут задаваться, например, простым перечислением, множеством.

Подсистема – совокупность элементов, находящихся между собой в более тесных связях, принадлежащих системе в целом и способных выполнять относительно независимые функции, подцели. Система может быть разделена на элементы не сразу, а последовательным расчленением на подсистемы, которые представляют собой компоненты более крупные чем элементы, и в то же время более детальные, чем система в целом.

Каждый элемент системы характеризуется некоторым набором свойств. Под свойством элемента () понимают характеристику, которая может быть определена с помощью набора операций или измерена с помощью какого-то инструмента.

При выделении элементов необходимо придерживаться следующих принципов:

1. Принцип целесообразности. Необходимо оценивать влияние элемента на конечную цель исследования системы.

2. Принцип минимальной достаточности. Для описания оригинала любой природы в виде системы используется минимально необходимое число элементов, обеспечивающее достижение цели исследования.

3. Принцип «часть-целое». Элемент системы и система в целом должны быть совместимы. Множество свойств системы будем обозначать . Тогда справедливо следующее включение .

Следует отметить, что характеристики системы не являются простой суммой характеристик свойств элементов, составляющих эту систему. Система может обладать характеристиками, которыми не обладает ни один из элементов, составляющих ее.

Пусть - множество элементов, составляющих систему , тогда .

Состояние – определенное значение, набора наиболее существенных показателей или свойств, которые приняты для оценки элемента (), системы (С(S)) или подсистемы.

Взаимодействие элементов в системе осуществляется по средствам связей. Связь – некоторое отношение, возникающее между элементами. Связи задаются, как правило, отношениями (матрицами, графами, сечениями).

Когда один элемент вступает в отношения с другим элементом, он теряет часть своих свойств и одновременно приобретает новые. Различают нейтральные и направленные связи, усиливающие и замедляющие, сильные и слабые. По характеру связи бывают равноправные, генетические, связи подчинения, управления; по месту приложения – внутренние и внешние, по направленности в системе – прямые и обратные. Особое место занимает обратная связь, как правило, замыкающая цепь. Ее наличию предшествует контроль состояния элементов.

Внутренняя структура системы определяется перемещениями потоков от одних элементов к другим (отношениями между элементами). Структура объекта (процесса, явления) отражает наиболее существенные взаимоотношения между элементами и их группами (подсистемами), которые мало меняются при изменениях в системе и обеспечивают существование системы и ее свойств. Структура - это совокупность элементов и соединяющие их связи. Структура является основой целостности системы и представляет собой мало изменяющуюся категорию. Структуру системы обозначают следующим образом .

Для задания системы используются описатели. Простейший описатель системы имеет вид .

В зависимости от количества учитываемых факторов и степени абстрактности понятия «система» меняются ее описатели.

Пример 1.

Составим простейший описатель системы воспитания/образования в России. В качестве элементов выберем основные воспитательные и образовательные институты, а связи определим как возможность перехода из одного в другой.

Элементы системы определим множеством , где - дошкольное воспитание; -школа; -среднее образование; - высшее образование. Связи опишем графом.

 

 

 

Структура системы имеет вид

где

Т.о. система воспитания и образования в России описана. Очевидно, что элементы сами являются крупными системами. Так дошкольное воспитание состоит из яслей, детского сада; школа включает в себя начальную школу, среднюю (до 9 класса), высшую (10-11 класс) и т.д. Т.е. выделенные элементы можно рассматривать как подсистемы. Более детальное описание системы имеет вид.

, где - ясли, - детский сад, - начальная школа, - средняя, -высшая школа, -колледж, - бакалавриат, - магистратура, - специалисты.

Связи представлены на рисунке.

Матрица, описывающая структуру системы, выписывается по графу, аналогично рассмотренному выше случаю.

Пример 2.

Опишем с помощью простейшего описателя систему, соответствующую модели Леонтьева. Пусть -порядковый номер «чистой» отрасли, производящей продукт, - потребляющий продукт (). Под «чистой» понимается отрасль, выпускающая(потребляющая) один единственный продукт. Обозначим через

- валовой выпуск -ой отрасли;

-конечный продукт -ой отрасли;

-количество (в стоимостном выражении) продукции -ой отрасли, необходимое для выпуска единицы продукции -ого вида. Тогда модель Леонтьева может быть записана в следующем виде

.

В матричном виде:

,

здесь - матрица коэффициентов прямых затрат, - вектор валовых выпусков, - вектор конечного продукта, - единичная матрица порядка .

Элементами в данной задаче будут отрасли . Связи определяются коэффициентами прямых затрат : - элемент связан с элементом , - связи между элементами нет. Структура задается матрицей , .

Пример 3.

Составим простейший описатель системы, заданной оптимизационной задачей. Рассмотрим для простоты задачу линейного программирования,

 

(1)

(2)

(3)

(4)

 

Решим задачу графически.

Построим допустимое множество задачи (точки данного множества удовлетворяют всем ограничениям). Найдем полуплоскость, заданную первым неравенством. Для этого построим прямую . Данная прямая проходит через точки ,

		4

Точка (0,0) удовлетворяет неравенству (1) (0 13), принадлежит искомой плоскости, значит, полуплоскость под прямой задается неравенством (1)

Аналогично строим области заданные неравенствами (2)-(4). Т.о. построено множество . Допустимое множество - , с вершинами , , .Найдем максимальное значение функции цели на данном множестве. Для этого построим любые две линии уровня функции (линии уровня задаются уравнениями ), например, и (т.е. ). Таблицы точек для построения прямых

		0
	-2

		1

 

Из рисунка видно, что при увеличении константы С, прямая двигается вверх. Параллельным переносом будем сдвигать прямую до последней точке пересечения с множеством . Решением задачи является точка , максимальное значение функции цели на допустимом множестве .

В данной задаче элементами являются вершины допустимого множества , связи задаются всеми неравенствами

А структура системы – граница допустимого множества, т.е. неравенства, участвующие в образовании граничных точек ((2)-(4)), записываемые как равенства. .

Т.о. построен простейший описатель системы (1)-(4).

Пример 4. Рассмотрим случай, когда описывается как система многомерная задача линейной оптимизации. Аналогично с предыдущем примером элементами будут вершины допустимого множества, связями – все равенства и неравенства, которыми они связаны, а структурой – неравенства (записываемые как равенства), участвующие в образовании вершин допустимого множества.

Если переменных больше двух() и решать графически нельзя, предлагается следующий алгоритм нахождения вершин многогранника, заданного системой из неравенств:

1. Выписать все комбинации из разных неравенств – получить систем неравенств.

2. Каждую систему неравенств записать как систему равенств. Если система разрешима, найти решение.

3. Проверить удовлетворяют ли найденные в п.2 точки неравенствам, не входящим в систему, из которых точки были найдены.

4. Если точка удовлетворяет всем неравенствам, записать ее рядом с уравнениями, из которых она была найдена.

5. Найденные таким образом точки – вершины многогранника, а значит - элементы системы.

6. Структура состоит из уравнений, около которых записано не менее точек. (Грани многогранника описываются уравнениями. Уравнение плоскости, в которой лежит грань с числом точек меньше , избыточно, т.к. не участвует в образовании многогранника).

Рассмотрим построение простейшего описателя системы для следующей задачи

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь . Т.о. необходимо решить 4 системы уравнений. Решение системы (1)-(3) (с заменой знаков неравенств на равенства) - точка . Проверим выполнение ограничения (4): .Запишем в таблицу1, в строки, соответствующие ограничениям (1)-(3). Решением системы уравнений (1),(2),(4) является точка , удовлетворяющая неравенству (3): . Из двух других систем уравнений, находим точки , удовлетворяющие неравенствам, не входящим в системы из которых они найдены.

№	Уравнение	Точки

Т.о. элементы системы , связи , структура .

Задачи

1. Постройте простейший описатель системы управления университетом: выделите элементы (ректор, проректоры…), связи, задайте структуру, подсистемы.

2. Опишите как систему карту дорог Воронежской области: опишите элементы, связи, структуру. Выберите не менее 7 населенных пунктов, а также учтите разные виды дорог (асфальтированная, грунтовая, железная дорога).

3. Представьте устройство компьютера в виде простейшей системы. Выделите не менее 9 элементов, определите различные типы связей (прямые, обратные, нейтральные, связи управления), подсистемы и связи между ними, опишите структуру системы.

4. Три отрасли выпускают продукцию, известна матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта

, .

Составьте модель Леонтьева, опишите систему.

5. Четыре отрасли выпускают продукцию, известна матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта

, .

Составьте модель Леонтьева, опишите систему.

6. Составьте простейшие системные описатели следующих оптимизационных задач

 

 

А. Б.

 

В. Г.

7. Предприятие выпускает 2 вида продукции , используя 2 ресурса . Известны затраты каждого ресурса на выпуск единицы продукции : . Общий объем ресурсов на предприятии . Выпуск каждого вида продукции должен составлять не менее двух единиц, т.е. , . Затраты времени на производство единицы продукции . Необходимо выпустить продукцию, минимизировав трудовые затраты. Составьте модель решения задачи и выпишите простейший описатель системы для полученной оптимизационной задачи.

8. Решите задачу аналогичную задачи 7, если , , , , .

9. Предприятие выпускает два вида продукции, используя три ресурса. Матрица производственных затрат , общий объем ресурсов .Требуется найти максимальный выпуск продукции при использовании данных ресурсов. Составьте модель решения задачи и выпишите простейший описатель системы для полученной оптимизационной задачи.

10. Кондитерская фабрика выпускает шоколадные конфеты двух видов. Для выпуска используются два основных продукта: какао-порошок и какао-масло, имеющиеся на предприятии в объеме 14 и 10 ц. Затраты продуктов на производство конфет , трудовые затраты . Конфет 1-го вида должно быть выпущено не менее 1 ц, а 2-го – не менее 2 ц. Описать модель отыскания оптимального плана выпуска. Составить простейший описатель системы.

11. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 т. Производится два вида удобрений: аммиачная селитра и аммиачная вода. Для их производства используется аммиак, расход которого не должен превышать 8 т. Суммарные капиталовложения в производство не должны превышать 42 тыс.руб. Технологические нормы материальных затрат, удельные капиталовложения, себестоимость даны в таблице

Химический продукт	Технологические нормы затрат аммиака, т/т	Удельные капитальные вложения,тыс.руб./т	Себестоимость ед.продукции, тыс.руб./т
аммиачная селитра	0,6	3,0
аммиачная вода	1,0	6,0	6,5

 

Определить план производства селитры и аммиачной воды с наименьшими суммарными затратами. Выписать простейший описатель системы.

12. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются два вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.

Вид корма	Нормы	расходов	(кг/день)	Ресурс кормов
лиса	нутрия	норка	(кг)
Прибыль руб./шкурка

Построить математическую модель для определения того, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была максимальной. Выписать простейший описатель системы.

13. Для производства 3-х видов продукции используется 3 вида сырья и трудовые ресурсы. Запасы сырья: 100, 200, 150. Матрица затрат сырья на единицу производимой продукции имеет вид . Вектор затрат трудовых ресурсов . Минимальная потребность в каждом виде продукции задана вектором . Выписать простейший описатель системы.

1.2. Функционирование целевых систем: понятие, описатели, примеры.

Система называется функционирующей, если на нее оказывает влияние внешняя среда и если система, в свою очередь, передает во внешнюю среду поток, который соответствует сущности (миссии) системы. Для описания функционирующей системы необходимо ввести характеристики, связывающие систему с внешней средой. К ним относятся – входы и выходы системы, а также передаточная функция.

Обозначим через - набор входных переменных, , , -управляемые переменные; - случайные переменные. Система характеризуется состояниями, внутренними характеристиками , которые могут быть измерены в любой момент времени. , - множество возможных состояний системы. - передаточная функция системы – оператор, позволяющий рассчитывать выходную переменную , , . Система функционирует, если она переходит из одного состояния в другое.

Описатель функционирующей системы имеет вид

.

Если сформулирована цель работы системы, то говорят о целевой функционирующей системе. Вводится функция цели , и описатель системы принимает вид

,

здесь - параметры внутренних характеристик системы, . Причем, передаточная функция обобщается и зависит не от состояний системы, а от внутренних параметров .

Каждой функционирующей системе можно поставить в соответствие модель, которая состоит в отыскании такого входного потока и значений характеристик , при которых цель будет достигать своего «наилучшего» значения . Модель целевой функционирующей системы имеет вид

Модель считается разработанной, если определены множества , , , а также , и .

Компоненты входного потока системы могут быть разнородными, измеряться в различных шкалах или единицах измерения. Чтобы учесть возможность разнородности компонент, необходимо произвести их фильтрацию с помощью фильтрующего устройства (), с последующим интегрированием чистых потоков. Объединение (суммирование) потоков происходит в сумматоре (), затем выходной поток направляется во внешнюю среду распределителем . Такая система называется элементарным преобразователем.

Схема 1. Элементарный преобразователь

Если система способна переходить из одного состояния в другое, то говорят, что она обладает поведением. Поведение системы во многом зависит от состояния внешней среды – множества элементов, не входящих в систему, изменение состояния которых меняет поведение системы.

Рассмотрим переход системы из одного состояния в другое. Пусть известен вектор начальных состояний . Обозначим - порядковый номер состояния, ; - вектор влияния внешней среды на систему, тогда поведение системы определяется следующим образом

.

Т.о. состояние системы зависит от предыдущего состояния, от влияния окружающей среды, внутренних характеристик системы и входного потока.

Важным свойством систем является способность находиться в состояние равновесия, т.е. при отсутствии внешних возмущающих воздействий сохранять свое состояние сколь угодно долго. Пусть на вход системы подается поток и . Точка называется точкой равновесия, если при ее изменении на , точка выхода :

.

Когда переход к новому состоянию не меняет выходной поток, говорят об устойчивости системы. Целевые системы называются устойчивыми, если из принадлежности входа определенному множеству , следует, что изменение выходного потока будет лежать в пределах заданного множества выходных потоков . Под устойчивостью понимается способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была выведена из него под влиянием внешних возмущающих воздействий.

Пример 1.

Модель Леонтьева, с известной матрицей затрат и конечным продуктом , представим как функционирующую систему и выпишем ее описатель.

Модель Леонтьева в матричном виде , перепишем в виде . Т.о. входной поток – вектор конечного потребления (), выходной поток – валовой выпуск , а передаточная функция . Т.о. .

Пример 2.

Найти максимум функции при условии

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Опишем данную оптимизационную задачу как функционирующую систему.

Выпишем для данной задачи следующий описатель . Простейший описатель определяется аналогично примеру 3 из 1.1. Допустимое множество данной задачи и линии уровня функции цели представлены на рисунке.

Решение , .

, , .

Определим теперь входы и выходы системы. В общем виде данную задачу можно записать следующим образом

где , , . Тогда входами системы являются , выходы – решение задачи , передаточная функция – процесс решения задачи, например, в линейном случае, это может быть симплекс-метод (с-м). Получаем следующий описатель системы

Приведем схему функционирования описанной системы

 

 

Следует заметить, что если решается задача, сводящаяся к оптимизационной, например, поиск оптимального ассортимента выпуска продукции с использованием ресурсов (задача 7 п. 1.1), часть параметров описанных выше как входные, могут считаться состояниями (внутренними характеристиками) системы, например, матрица характеризует технологический процесс и является внутренней характеристикой системы. В случае изменения состояний системы на схеме появляются обратные связи.

Пример 3.

Проверить, в какое состояние необходимо перейти системе, описание, которой приведено в предыдущем примере. Если считать, что ее начальное состояние характеризовалось параметрами (), а три новых состояния () определяются параметрами ():

1. ; : , , , , ; = ; = .

2. ; = ; : , ; = .

3. ; = ; = ; : , .

Опишите функционирование системы с помощью схемы.

Логично предположить, что переход в новое состояние для системы, описываемой оптимизационной задачей, возможен, если значение функции цели улучшается на оптимальном плане при решении задачи с учетом нового состояния системы.

Опишем процесс решения задачи как функционирование системы с помощью схемы для случая, когда задача линейного программирования записана в произвольном виде и рассматривается возможность перехода в новых состояний.

В какое состояние возможен переход для рассматриваемой системы определите самостоятельно (см. задачу 5), воспользовавшись схемой.

Задачи

1. Две отрасли, конечный продукт которых составляет 120 и 70 единиц производят продукцию. Затраты на производство заданы матрицей . Составьте модель Леонтьева, найдите валовой выпуск отраслей, выпишите описатель функционирующей системы.

2. Три отрасли, конечный продукт которых 100, 200 и 150 единиц производят продукцию. Затраты на прои