Ядро как система нуклонов. Статистика

Атомное ядро – центральная и очень компактная часть атома, в которой сосредоточена практически вся его масса и весь положительный электрический заряд. Ядро, удерживая вблизи себя кулоновскими силами электроны в количестве, компенсирующем его положительный заряд, образует нейтральный атом. Большинство ядер имеют форму близкую к сферической и диаметр ≈ 10^-12 см, что на четыре порядка меньше диаметра атома (10^-8 см). Плотность вещества в ядре – около 230 млн.тонн/см³. Для обозначения атомного ядра используется символ химического элемента атома, в состав которого входит ядро, причём левый верхний индекс этого символа показывает число нуклонов (массовое число А) в данном ядре, а левый нижний индекс – число протонов Z в нём.

Ядро – система плотно упакованных протонов и нейтронов, двигающихся со скоростью 10⁹-10¹⁰ см/сек и удерживаемых мощными и короткодействующими ядерными силами взаимного притяжения (область их действия ограничена расстояниями ≈ 10^-13 см).Протоны и нейтроны имеют размер около 10^-13 см и рассматриваются как два разных состояния одной частицы, называемой нуклоном. Радиус ядра можно приближённо оценить по формуле R ≈ (1.0-1.1)·10^-13А^1/3 см, где А – число нуклонов (суммарное число протонов и нейтронов) в ядре.
Ядерное взаимодействие (взаимодействие между нуклонами в ядре) возникает за счёт того, что нуклоны обмениваются мезонами. Это взаимодействие – проявление более фундаментального сильного взаимодействия между кварками, из которых состоят нуклоны и мезоны (подобным образом силы химической связи в молекулах – проявление более фундаментальных электромагнитных сил).
Рассмотрим квантовомеханическое описание системы тождественных частиц, например, системы, состоящей только из протонов или нейтронов или других частиц. Если в классической механике, задавая начальные условия для каждой частицы, можно было проследить за поведением отдельной фиксированной частицы, то в квантовой механике такая возможность отсутствует, поскольку можно говорить лишь о вероятности обнаружить частицу в том или ином состоянии. Поэтому в отличии от классической механики в квантовой механике невозможно различить тождественные частицы.

В квантовой механике постулируется следующий принцип, навивае­мый принципом тождественных частиц: гамильтониан, описывающий систему тождественных частиц, инвариантен по отношению к перестановке всех координат, описывающих движение любых двух тождественных частиц. Определим оператор перестановки двух частиц как
Следствием принципа тождественности частиц является коммутативность введенного оператора с гамильтонианом, описывающим систему тождественных частиц. Таким образом, система тождествен­ных частиц характеризуется квантовым числом статистикой - собственным значением оператора Поскольку Для частиц, характеризуемых квантовым числом , справед­ливо соотношение P12Ψr1,r2, …, rn=−Ψr1,r2, …, rnСравнивая два соотношения получим, что волновая функция системы тождественных частиц с квантовым числом P12=−1при перес­тановке двух частиц меняется следующим образом: Ψr1,r2, …, rn=−Ψr1,r2, …, rn. Такие частицы называются фермионами.

Аналогично получим, что волновая функция системы тождест­венных частиц с квантовым числом при перестановке двух любых частиц меняется следующим образом: .

Такие частицы называются бозонами. Следствием антисимметрии волновой функции фермионов относительно перестановок является то, что два фермиона не могут находиться в одинаковых состояниях, поскольку в противном случае волновая функция обращается в нуль. Напротив, в одном квантовом состоянии может находиться бесконечно много бозонов, поскольку их волновая функ­ция симметрична относительно перестановки частиц. В квантовой теории поля показано, что частицы с полуцелым спином обладают статистикой Ферми, а частицы с целым спином - статистикой Бове. Таким образом, ядра с полуцелым спином обладают статистикой Ферми, так что волновая функция системы этих ядер должна быть, антисимметрична относительно перестановок ядер и в одном квантовом состоянии может находиться не больше чем одно ядро с полуцелым спином. Напротив, ядра с целым спином обладают статистикой Бозе. Волновая функция системы таких ядер долина быть симметрична относительно их перестановки и в одном квантовой со­стоянии может находиться бесконечно много ядер с целым спином.

Свойства ядерных сил

Ядерное взаимодействие свидетельствует о том, что в ядрах существуют особые ядерные силы, не сводящиеся ни к одному из типов сил, известных в классической физике (гравитационных и электромагнитных).

Ядерные силы являются короткодействующими силами. Они проявляются лишь на весьма малых расстояниях между нуклонами в ядре порядка 10^–15 м. Длина (1,5 – 2,2)·10^–15 м называется радиусом действия ядерных сил.

Ядерные силы обнаруживают зарядовую независимость: притяжение между двумя нуклонами одинаково независимо от зарядового состояния нуклонов – протонного или нейтронного. Зарядовая независимость ядерных сил видна из сравнения энергий связи зеркальных ядер. Так называются ядра, в которых одинаково общее число нуклонов, но число протонов в одном равно числу нейтронов другом. Например, ядра гелия и тяжелого водорода – трития. Энергии связи этих ядер составляют 7,72 МэВ и 8,49 МэВ.

Разность энергий связи ядер, равная 0,77 МэВ, соответствует энергии кулоновского отталкивания двух протонов в ядре. Полагая эту величину равной, можно найти, что среднее расстояние r между протонами в ядре равно 1,9·10^–15 м, что согласуется с величиной радиуса ядерных сил.

Ядерные силы обладают свойством насыщения, которое проявляется в том, что нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседних нуклонов. Именно поэтому наблюдается линейная зависимость энергий связи ядер от их массовых чисел A. Практически полное насыщение ядерных сил достигается у α-частицы, которая является очень устойчивым образованием.

Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Это подтверждается различным характером рассеяния нейтронов молекулами орто- и параводорода. В молекуле ортоводорода спины обоих протонов параллельны друг другу, а в молекуле параводорода они антипараллельны. Опыты показали, что рассеяние нейтронов на параводороде в 30 раз превышает рассеяние на ортоводороде. Ядерные силы не являются центральными.

Итак, перечислим общие свойства ядерных сил:

· малый радиус действия ядерных сил (R ~ 1 Фм);

· большая величина ядерного потенциала U ~ 50 МэВ;

· зависимость ядерных сил от спинов взаимодействующих частиц;

· тензорный характер взаимодействия нуклонов;

· ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинового и орбитального моментов нуклона (спин-орбитальные силы);

· ядерное взаимодействие обладает свойством насыщения;

· зарядовая независимость ядерных сил;

· обменный характер ядерного взаимодействия;

· притяжение между нуклонами на больших расстояниях (r > 1 Фм), сменяется отталкиванием на малых (r < 0,5 Фм).

Взаимодействие между нуклонами возникает в результате испускания и поглощения квантов ядерного поля – π-мезонов. Они определяют ядерное поле по аналогии с электромагнитным полем, которое возникает как следствие обмена фотонами. Взаимодействие между нуклонами, возникающее в результате обмена квантами массы m, приводит к появлению потенциала U_я(r):

Дейтрон

Дейтрон - ядро, состоящее из одного протона и одного нейтрона. Изучая свойства этой простейшей ядерной системы (энергию связи дейтрона, спин, магнитный и квадрупольный моменты) можно подобрать потенциал, описывающий свойства нуклон-нуклонного взаимодействия.

Волновая функция дейтрона ψ(r) имеет вид ψ(r) = U(r)/r, (1)

где k = (2 Eсв)1/2/ , K = [2μ(V0 - Eсв)]1/2/ ,

a = 2.1 Фм (ширина потенциальной ямы, μ - приведенная масса протона и нейтрона.
Радиус дейтрона Rd = 1/k = 4.3 Фм, т.е. нуклоны дейтрона имеют заметную вероятность находиться за пределами потенциальной ямы. Функция (5)является хорошим приближением для всей области изменения r.

Спин дейтрона определяется векторной суммой спина протона s_p, спина нейтрона s_n и их относительного орбитального момента L (²H) = _p + _n + .Так как чётность дейтрона P = +1, а чётности протона и нейтрона положительны, L может принимать только значения L = 0 и 2, а их спины должны быть параллельны. Отсутствие у дейтрона связанного состояния со спином 0, говорит, что ядерные силы зависят от спина. Если бы в дейтроне орбитальный момент L был равен 0, то величина магнитного момента дейтрона была бы равна (L=0) = _p + _n = 2.793 _N - 1.913 _N = 0.88 _N. Отличие это величины от экспериментального значения _эксп = 0.857 свидетельствует о том, что примесь состояния L = 2 в дейтроне составляет ~4%. Магнитный момент дейтрона в S-состоянии μ(S) = 0.8796μN, близок к экспериментальному значению. Различие можно объяснить небольшой примесью D-состояния (L = 1 + 1) в волновой функции дейтрона. Магнитный момент в D-состоянии μ(D) = 0.1204μN. Примесь D-состояния составляет 0.03.

Наличие примеси D-состояния и квадрупольного момента у дейтрона свидетельствуют о нецентральном характере ядерных сил. Такие силы называются тензорными. Они зависят от величины проекций спинов s1 и s2, нуклонов на направление единичного вектора , направленного от одного нуклона дейтрона к другому. Положительный квадрупольный момент дейтрона (вытянутый эллипсоид) соответствует притяжению нуклонов, сплюснутый эллипсоид - отталкиванию.