Постановка задачі оптимізації

Оптимізація в широкому змісті слова знаходить застосування в науці, техніці й у будь-якій іншій області людської діяльності.

Оптимізація - цілеспрямована діяльність, що полягає в одержанні найкращих результатів при відповідних умовах. Пошуки оптимальних рішень привели до створення спеціальних математичних методів і вже в 18 столітті були закладені математичні основи оптимізації - варіаційне числення, чисельні методи та інші.. Однак до другої половини 20 століття методи оптимізації в багатьох галузях науки і техніки застосовувалися дуже рідко, оскільки практичне використання математичних методів оптимізації вимагало величезної обчислювальної роботи, що без ЕОМ реалізувати було украй важко, а в ряді випадків - неможливо. Особливо великі труднощі виникали при рішенні задач оптимізації процесів у хімічної технології через велике число параметрів і їх складної взаємозв'язку між собою. При наявності ЕОМ задача помітно спрощується.

Постановка задачі оптимізації припускає існування конкурируючих властивостей процесу, наприклад:

- "кількість продукції - витрата сировини"

- "кількість продукції - якість продукції"

Вибір компромісного варіанту для зазначених властивостей і представляє собою процедуру рішення оптимізаційної задачі.

При постановці задачі оптимізації необхідно:

1. Наявність об'єкта оптимізації і мети оптимізації. При цьому формулировка кожної задачі оптимізації повинна вимагати екстремального значення лише однієї величини, тобто одночасно системі не повинне приписуватися два і більш критерії оптимізації, тому що практично завжди екстремум одного критерію не відповідає екстремуму іншого.

Типовий приклад неправильної постановки задачі оптимізації: "Одержати максимальну продуктивність при мінімальної собівартості ". Помилка полягає в тім, що ставиться задача пошуку оптимуму 2-х величин, що суперечать один одному по своїй суті. Правильна постановка задачі могла бути наступна:

а) одержати максимальну продуктивність при заданої собівартості;

б) одержати мінімальну собівартість при заданої продуктивності.

У першому випадку критерій оптимізації - продуктивність, а в другому - собівартість.

2. Наявність ресурсів оптимізації, під якими розуміють можливість вибору значень деяких параметрів оптимізуємого об'єкта. Об'єкт повинний мати визначені ступені волі - керуючими впливами.

3. Можливість кількісної оцінки оптимізуємої величини, оскільки тільки в цьому випадку можна порівнювати ефекти від вибору тих чи інших керуючих впливів.

4. Облік обмежень.

Звичайно оптимізуєма величина зв'язана з економічністю роботи розглянутого об'єкта ~ апарат, цех, завод. Оптимізуємий вариант роботи об'єкта повинний оцінюватися якийсь кількісний мірою - критерієм оптимальності.

Критерієм оптимальності називається кількісна оцінка оптимізуємого якості об'єкта. На підставі обраного критерію оптимальності складається цільова функція, що представляє собою залежність критерію оптимальності від параметрів, що впливають на її значення. Вид критерію чи оптимальності цільової функції визначається конкретною задачею оптимізації.

Таким чином, задача оптимізації зводиться до перебування екстремума цільової функції.

Найбільш загальною постановкою оптимальної задачі є вираження критерію оптимальності у виді економічної оцінки - продуктивність, собівартість продукції, прибуток, рентабельність. Однак в приватних задачах оптимізації, коли об'єкт є частиною технологічного процесу, не завжди чи вдається не завжди доцільно виділяти прямий економічний показник, який би повністю характеризував ефективність роботи розглянутого об'єкта. У таких випадках критерієм оптимальності може служити технологічна характеристика, що побічно оцінює економічність роботи агрегату – час контакту, вихід продукту, ступінь перетворення, температуру. Наприклад встановлюється оптимальний температурний профіль, тривалість циклу - "реакція - регенерація". Але в будь-якому випадку любій критерій оптимальності має економічну природу. Розглянемо більш докладно вимоги, що повинні пред'являтися до критерію оптимальності.

1. Критерій оптимальності повинний виражатися кількісно.

2. Критерій оптимальності повинний бути єдиним.

3. Критерій оптимальності повинний відбивати найбільш істотні сторони процесу.

4. Бажано щоб критерій оптимальності мав ясний фізичний зміст і легко розраховувався.

Кожний оптимізуємий об'єкт схематично можна представити слідуючи чином (рис.5.1)

Y - виходи об'єкта

Х - контрольовані вхідні параметри

U - регульовані вхідні параметри (керуючі параметри)

Z - неконтрольовані впливи

Рис.5.1

 

При постановці конкретних задач оптимізації критерій оптимальності повинний бути записаний у виді аналітичного вираження. У тім випадку, коли випадкові збурювання невеликі і їхній вплив на об'єкт можна не враховувати, критерій оптимальності може бути передставлен як функція вхідних, вихідних і керуючих параметрів:

 

R=R(X1, X2,...,X_N, Y1,Y2,...,Y_N, U1,U2,..., U_N) (5.1)

 

Тому що Y=f(U), те при фіксованих Х можна записати:

 

R = R () (5.2)

 

При цьому всяка зміна значень керуючих параметрів подвійно позначається на величині R:

- прямо, тому що керуючі параметри безпосередньо входять у вираз критерію оптимізації;

- побічно - через зміну вихідних параметрів процесу, які залежать від керуючих.

Якщо ж випадкові збурювання досить великі і їх необхідно враховувати, то варто застосовувати експериментально - статистичні методи, що дозволять одержати модель об'єкта у виді функції

 

Y=(X_i,U_i) (5.3)

яка справедлива тільки для вивченої локальної області. Тоді критерій оптимальності прийме наступний вид:

 

R = R() (5.4)

 

У принципі, для оптимізації замість математичної моделі можна використовувати і сам об'єкт, однак оптимізація таким шляхом має ряд істотних недоліків:

а) необхідний реальний об'єкт;

б) необхідно змінювати технологічний режим у значних межах, що не завжди можливо;

в) тривалість іспитів і складність обробки даних.

Наявність математичної моделі (при умові, що вона досить надійно описує процес) дозволяє значно простіше вирішити задачу оптимізації аналітичним або чисельним методами.

У задачах оптимізації розрізняють прості і складні критерії оптимізації. Критерій оптимальності називається простим, якщо вимагається визначити екстремум цільової функції без завдання умов на які-небудь інші величини. Такі критерії звичайно використовуються при рішенні приватних задач оптимізації (наприклад, визначення максимальної концентрації цільового продукту, оптимального часу перебування реакційної суміші в апараті і т.п.).

Критерій оптимальності називається складним, якщо необхідно відновити екстремум цільової функції при деяких умовах, що накладаються на ряд інших величин (наприклад, визначення максимальної продуктивності при заданій собівартості, визначення оптимальної температури при обмеженнях по термостійкості каталізатору й ін.).

Процедура рішення задачі оптимізації обов'язково включає, поповз вибір керуючих параметрів, ще і встановлення обмежень на ці параметри ~ термостійкість, вибухобезпечність, потужність перекачувальних пристроїв. Обмеження можуть накладатися як по технологічним, так і по економічних розуміннях.

Отже, для рішення задачі оптимізації необхідно:

а) скласти математичну модель об'єкта оптимізації:

 

Y=f(X,U) (5.5)

 

б) вибрати критерій оптимальності і скласти цільову функцію:

 

) (5.6)

 

в) установити можливі обмеження, що повинні накладатися на перемінні:

 

(5.7а)

(5.7б)

 

г) вибрати метод оптимізації, що дозволить знайти екстремальні значення шуканих величин.

Прийнято розрізняти задачі статичної оптимізації для процесів, що протікають у сталих режимах, і задачі динамічної оптимізації. У першому випадку зважуються питання створення і реалізації оптимальної моделі процесу, у другому - задачі створення і реалізації системи оптимального керування процесом при несталих режимах експлуатації.