Методи дослідження усталеності

Усталеність - одна з найважливіших характеристик матеріальних систем. Під стійкістю розуміють здатність системи зберігати свій стан в умовах впливу середовища, що обурює.

Дослідження стійких і хитливих стаціонарних станів здійснюватися на основі аналізу поводження системи в часі після впливу якого-небудь збурювання.

А.М.Ляпунов у 1935 році вперше дав строгу постановку задачі про усталеність руху і запропонував два методи рішення. Ці роботи стали основою вивчення стійкості технічних систем, у тому числі і хімічних процесах і реакторів.

Загальний аналіз точними методами, що дозволяє визначити число стаціонарних станів і їхня усталеність, є досить складною математичною задачею. Детальний розгляд цих методів виходить за рамки даного курсу, тому дамо лише їхній короткий опис.

Перший метод Ляпунова заснований на аналізі коренів характеристичного рівняння і побудові траєкторій на фазовій площині. Для стійкості лінійної системи n-го порядку необхідно і досить, щоб усі n коренів її характеристичного рівняння:

a0p^n +a1p^n-1+a2p^n-2+... +an-1p+an =0

(4.1)

розташовувалися на комплексній площині коренів p = a + b_i ліворуч від мнимої осі.

Як правило, математичні моделі хімічних реакторів складаються з нелінійних рівнянь. Але при малих відхиленнях від стаціонарного режиму ці рівняння можна линеаризовать в околицях стаціонарного режиму і надалі використовувати апарат дослідження лінійних рівнянь.

Другий метод Ляпунова заснований на аналізі стійкості з використанням функції Ляпунова V(x), що повинна задовольняти наступним умовам:

V(x)>0 при x≠0 V(x)=0 при x=0 d/dt<0 при x≠0 lim(x) → при |x| → ¥

(4.2)

Основна складність при використанні цього методу складається в перебуванні самої функції Ляпунова і знака її похідної. Однак при використанні цього методу для дослідження стійкості відпадає необхідність у побудові всіх траєкторій на фазовій площині.

Може створитися враження, що усталеність по Ляпунову недостатня через малість збурювань, що накладаються, і необхідно розглядати "технічну" усталеність - при кінцевих збурюваннях. Дійсно, усталеність по Ляпунову, є необхідним, але, узагалі говорячи, недостатньою умовою для рішення технічних задач. Проте, у більшості практичних випадків аналіз стійкості методами Ляпунова дає і достатні умови.

Якщо виникає необхідність досліджувати чутливість технологічного режиму реактора до значних відхилень від стаціонарного режиму, то використовується чисельний аналіз перехідних режимів на основі моделі, що описує нестаціонарний процес. Такий аналіз виконується на ЕОМ.

Однак далеко не завжди виникає необхідність прибігати до досить складного апарата дослідження стійкості за допомогою точних методів або до досить великому дослідженню чисельними методами. У ряді випадків можна використовувати критерії стійкості. Критерії стійкості - умови, що дозволяють визначати усталеність стаціонарного стану реактора по величині його параметрів. Так, для простих схем контактних вузлів справедливий якісний підхід, заснований на обчисленні параметричної чутливості стаціонарних режимів.

Усталеність простих схем

Простою схемою контактного вузла називається схема, у якій мається тільки один зворотний зв'язок - вплив результатів протікання процесу на початкові умови в реакторі. Наприклад, зворотним зв'язком є зовнішній теплообмін між газовим потоком, що виходить з реактора, і вихідною реакційною сумішшю, що надходить у реактор. Зворотний зв'язок може бути також обумовлена внутрішнім теплообміном, подовжнім переносом речовини і тепла в шарі, циркуляцією реагуючих речовин і ін.

При малих змінах параметрів параметрична чутливість визначається як частинна похідна функції, що характеризує технологічний режим у реакторі, по відповідному параметрі при стаціонарному режимі. Вона визначає ступінь впливу параметрів режиму і граничних умов на роботу реактора і тісно зв'язана зі стійкістю і можливостями регулювання процесом.

Як приклад розглянемо просту реакторну схему, що складається з реактора з одним адіабатичним шаром каталізатора (1) і зовнішнього теплообмінника (2) з байпасом для регулювання температури перед шаром каталізатора (рис.4.1).

Рис.4.1

Подібні реакторні схеми широко застосовуються в промисловості. Справа в тім, що з метою економії енергії для підігріву вихідної суміші доцільно утилізувати частину тепла, що виділяється в результаті хімічної реакції.

Для спрощення висновку приймемо, що Q₂=0, тобто байпас відсутній.

З теплового балансу випливає, що в стаціонарному режимі

Q Cp r (Tн - Те) = КT F Dtcp

(4.3)

де

Q - об'ємна витрата;

К_T - коефіцієнт теплопередачі;

F - поверхня теплообміну;

Dt_cp - середня різниця температур гарячого і холодного теплоносіїв;

C_p, r - теплоємність і щільність реакційної суміші, відповідно.

Але Dtcp = (Т-То + Тк-Тн)/2

(4.4)

Якщо об'ємні витрати, теплоємності і щільності обох теплоносіїв однакові, а тепловими втратами можна зневажити, то з балансу для теплообмінника

Q Cp r (Тк - Т) = Q Cp r (Тн - Те)

можна знайти значення Т:

Т = Тк - Тн + Те

(4.5)

Підставивши (4.5) у (4.4) одержимо:

Dtср = Tк - Tн

(4.6)

Тоді, підставивши (4.6) у (4.3), можна записати:

Q Cр r (Тн- Те) = КТ F (Tк - Tн)

(4.7)

чи:

Тн - Те = g (Tк - Tн)	(4.8)
де g = КТ F / (Q Cр r)	(4.9)

Для адіабатичного шару температуру на виході можна знайти по наступному вираженню:

Тк = Тн + DТад

(4.10)

де DТ_ад = (-DН) Сіх / (C_рr) - адіабатичний розігрів реакційної суміші.

З (4.10) випливає, що Т_к = f₁(Т_н).

Перетворивши (4.8), одержимо:

Тн = (g Тк + Те) / (1 + g)

(4.11)

З (4.11) видно, що початкова температура Т_н залежить від результатів протікання процесу, тобто Т_н = f₂ (Т_к). Отже, у даній схемі має місце зворотний зв'язок.

Область стійкості являє собою сукупність значень параметрів, для яких дотримується умова стійкості (2.20), обумовлене в даному випадку наступним нерівністю:

(4.12)

З теплового балансу (4.7):

(4.13)

Підставивши (4.13) у (4.12), умова стійкості можна записати:

(4.14)

чи:

(4.15)

При роботі будь-якого промислового апарата дуже часто можливі різні коливання параметрів процесу. Для можливості їхньої компенсації і підтримки технологічного режиму в заданих межах передбачають байпас свіжої реакційної суміші повз теплообмінник, але при цьому трохи збільшують поверхня теплообміну. Розглянемо випадок, коли Q₂0. У цьому випадку умова стійкості має наступний вид:

(4.16)

Збільшення поверхні теплообміну приводить до збільшення параметра тепловідводу γ, що зменшує область стійкості, при якій можливий автотермічний режим. Але наявність байпасу дає можливо стабілізувати вхідну температуру.

Аналіз умови (4.16) показав, що доданок, що враховує вплив байпасу Q₂/(2Q₁), тільки компенсує зменшення що складається QC_p r/(K_T F_p) у порівнянні з величиною QC_pr/(K_T F_T), але не розширює область стійкості (тут F_T. - теоретично необхідна величина поверхні теплообміну, F_p - реальна поверхня теплообміну). Отже, байпасом можна стабілізувати процес тільки в межах області стійкості, обумовленої умовою (4.12) чи (4.15), причому F=F_T.

Розглянемо умову (4.14). З (4.10) випливає, що Т_к -Т_н = DТ_ад. Різниця Т_н -Те визначає величину зміни температури вихідної суміші. Позначивши її DТ_нагр і підставивши в (4.14), одержимо:

(4.17)

Область стійкості визначається відношенням величини підвищення температури реакційної суміші в шарі каталізатора (DТ_ад = Т_к - Т_н) до величини підвищення температури вихідної суміші. Співвідношення (4.17) визначає область стійкості й автотермічності процесу. Чим більше ступінь використання тепла реакційних газів, тим менше область стійкості.

Умови стійкості, аналогічні (4.12), отримані і для реакторів із внутрішнім теплообміном (мал.4.2):