Лінійна і квадратична апроксимація

 

Постановка задачі

Задача наближення (апроксимації) полягає в заміні функціональної залежності, заданої на множині XÍR у вигляді таблиці, графіка, формули або в неявному вигляді, більш простою наближуваною функцією.

Найбільш ефективним методом побудови найкращого середнього квадратичного наближення є метод найменших квадратів.

Завдання

 

Виконати апроксимацію функції, заданої в табличному вигляді многочленами першого і другого ступеня.

Порядок виконання

Вихідні дані:

 

 

1. Лінійна апроксимація функції.

1.1. Визначення коефіцієнтів апроксимуючого многочлена першого ступеня y=a+bx.

Система нормальних рівнянь:

 

 

Кількість пар даних:

 

Розв'язання:

 

 

1.2. Визначення коефіцієнтів a, b за допомогою функцій intercept і slope.

 

Залежність між Xi і Yi близька до лінійного, тому що коефіцієнт кореляції r близький до 1:

 

 

Визначаємо апроксимуючу функцію:

 

 

Графіки апроксимуючого многочлена і вихідних точок:

 

 

2. Квадратична апроксимація.

У якості вихідних даних візьмемо табличну залежність з 1-го пункту. Шукаємо апроксимуючу функцію у виді:

 

 

Ступінь многочлена:

 

 

Визначаємо коефіцієнти апроксимуючого многочлена:

 

 

Задамо діапазон зміни х такий же, як і для вектора Х:

 

 

Побудуємо графіки табличної залежності X-Y і апроксимуючого многочлена y(x):

 

 

Для оцінки якості отриманого розв'язку обчислимо коефіцієнт варіації:

 

Помітимо, що функція regress може бути використана для визначення коефіцієнтів апроксимуючих многочленів більш високого ступеня. Однак використовувати многочлени ступеня вище п'ятого не рекомендується.

 

 

Лабораторна робота № 10

Апроксимація у виді гіперболічної, показникової, степеневої і дрібно-раціональної функцій

 

Завдання

Для функції, заданої таблицею, провести апроксимацію у вигляді гіперболічної, показникової, степеневої і дрібно-раціональної функцій.

 

Порядок виконання

 

Вихідні дані:

 

 

1. Гіперболічна функція y = a + b/x.

 

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

 

Аналіз отриманих результатів:

 

 

2. Гіперболічна функція y=1/(a+bx).

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

Аналіз отриманих результатів:

 

 

3. Експонентна функція y=a е bx.

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

 

Аналіз отриманих результатів:

 

 

4. Степенева функція y =a x b.

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

 

Аналіз отриманих результатів:

 

 

5. Показникова функція y = abx.

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

 

Аналіз отриманих результатів:

 

 

6. Дрібно-раціональна функція y=t/(a+bt).

Перехід до нових змінних:

 

 

Розв'язання:

 

 

Аналіз отриманих результатів:

 

Результати обчислень зведені в таблицю:

 

 

ДОДАТОК

 

Завдання до лабораторної роботи №1,2

Виконайте завдання за зразком, наведеним у лабораторних роботах №1,2. Для лабораторної роботи №1 матриці А і В наведені нижче. Для лабораторної роботи №2 матриця А – коефіцієнти при невідомих у системі лінійних рівнянь; B – матриця правих частин цієї системи:

 

де а=0,01×k; k – номер варіанта.

 

Завдання до лабораторної роботи №3

Побудувати графіки функцій у декартовій системі координат за варіантами завдань до лабораторної роботи №4. Повторити приклади побудови графіків за пунктами 2-3.

 

Завдання до лабораторної роботи №4

 

Знайти корінь нелінійного рівняння на заданому інтервалі.

№	Рівняння	Інтервал	№	Рівняння	Інтер-вал
		-1; 1			-3; -2,2
		1; 2			0,7; 0,8
		1; 1,5			-2; -1
		-1; 1			0,9; 1,1
		1; 2			0; 1
		1; 2			-1; 0
		1; 2			1; 1,2
		-1; 0			0; 1
		-1,5; -1,4			-1; 0
		-2; -1			0,2; 1
		-2; -1			-1; 0
		0,4; 1			0; 1
		-2; -1			-1; 0
		-2; -1			-2; -1
		-0,8; -0,7			1; 2

Завдання до лабораторної роботи №5

 

Використовуючи задане початкове наближення, знайти розв'язок системи нелінійних рівнянь.

№	Система рівнянь і початкове наближення	№	Система рівнянь і початкове наближення
	M0(-0,9; 1,4)		M0(0;0)
	M0(1;1)		M0(0;0)
	M0(1;1)		M0(-1;1)
	M0(0;0)		M0(-0,9; 1,4)
	M0(0;0)		M0(0,5;-0,5)
	M0(0;0)		M0(1;-1)
	M0(0;0)		M0(0;0)
	M0(0,9; 1,4)		M0(0;0)
	M0(0;0)		M0(0;0)
	M0(1;1)		M0(0;0)
	M0(-0,5; 0,5)		M0(0;0)
	M0(-1; 1)		M0(1;-1)
	M0(0;0)		M0(1;1)
	M0(0;0)		M0(1;1)
	M0(0;0)		M0(1;1)

 

Завдання до лабораторної роботи №6

 

Розв'язати задачу Коші для звичайного диференціального рівняння.

№	Рівняння	Початкова умова

Завдання до лабораторної роботи №7

 

Розв'язати задачу Коші для системи двох звичайних диференціальних рівнянь.

№					a
					-1
			0.5	1.5
			-1
			0,2		-1
			0,5	-0,5	-1
			-0,6
					-1
			0,5	1,2
			0,8	3,5
				-1
				-3
			-2	-1
					-1
					-2
			-1
			0,5	0,5
				0,5
			0,5

 

 

Завдання до лабораторної роботи №8

 

За зразком прикладів, що містяться у лабораторній роботі №8, побудувати інтерполяційні многочлени для даних, наведених нижче.

.