Нахождение координат середины отрезка. Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

Координаты середины отрезка в пространстве

 

Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

 

 

26) Каноническое уравнение прямой (вывод). Параметрическое задание прямой. Уравнение прямой через две точки (вывод).

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки M ₀, лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

27)

Общее уравнение прямой и его частные случаи. Условия параллельности и перпендикулярности прямых заданных в общем виде. Направляющий и нормальный вектор прямой. Нахождение их координат из общего уравнения прямой.

Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

 

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

 

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

28) Уравнение прямой в отрезках (вывод) Уравнение прямой с угловым коэфицентом. Геометрический смысл углового коэффицента прямой.

Уравнение прямой через точку с данным угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных с угловым коэффициентом.

Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂

В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Уравнение прямой в полярной системе координат. Уравнение прямой через точку с данным нормальным вектором.

Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстоянием между параллельными прямыми называется часть перпендикуляра к этим параллельным прямым заключенная между ними

Определение и каноническое уравнение эллипса. Свойства эллипса.

Свойства:

Точки пересечения эллипса с осями,называются вершинами.

(большая ось- фокальная и малая ось)

Из канонического уравнения следует что

Эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами 2a и 2b.

Т.к. уравнение эллипса содержит только квадраты переменных то, если точка с координатами (x;y) принадл. Э, то точка с коорд. (-x;y) и (x;-y) и(-x;-y) принадлежат Э. след. Эллипс симметричен относительно Ox, Oy, начала координат.

Эксцентриситет эллипса.

Это отношение фокусного расстояния к длине большой оси

Этот показатель характеризует форму эллипса

Чем меньше Е тем Эллипс больше приближается к окружности.

Если Е=0 эллипс превращается в окружность x^2+y^2=a^2

Директрисы эллипса.

Это прямые которые перпендикулярны фокальной оси и находятся на расстоянии a/E от ее центра x= +/- a/E

R1+R2=2a

R1,R2- фокальные радиусы

Для фокальных радиусов имеют место формулы

Основное свойство.

Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная ексцентриситету.

Определение и каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Свойства:

Гипербола лежит вне прямоугольника со сторонами 2a и 2b.

Эксцентриситет гиперболы.

E=c/a E>1

B^2=c^2-a^2

Чем меньше E тем меньше отношение е полуосей,тем больше вытягивается прямоугольник, ветви приближаются к осям,сжаты.

5.

Директрисы

Основное свойство.

Определение и каноническое уравнение параболы. Свойства параболы.