Типове завдання індивідуальної роботи №2

З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

 

Варіант № 00

 

1. Задано ряд розподілу випадкової величини:

 

xi	-8	-6	-4	-2
pi	0.09	0.08	0.1	0.02	0.02	0.2	0.08	0.1	0.2	0.11

Побудувати та обчислити: а) многокутник розподілу; б) функцію розподілу; в) графік функції розподілу; г) моду; д) оцінити медіану; е) математичне сподівання; є) дисперсію; ж) середнє квадратичне відхилення; з) асиметрію; и) ексцес; і)

2. В партії із 10 деталей є 7 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

3. Випадкова величина Х задана функцією розподілу

 

 

а) обчислити параметр ; б) побудувати графік функції розподілу; в) знайти щільність розподілу та намалювати її графік; г) обчислити числові характеристики: моду, медіану, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, асиметрію, ексцес; д) знайти ймовірність

4. Власник фермерського господарства вирішив застрахувати нерухомість: кам’яні будівлі на 10 тис. гр., а дерев’яні на 20 тис. гр. Зі статистичних даних відомо, що ймовірність страхового випадку на кам’яних будівлях складає 0,0001, а на дерев’яних – 0,0002. Яку суму повинен сплатити фермер страховій компанії, якщо вона повинна дорівнювати середнім збиткам компанії?

5. Випадкова величина Х нормально розподілена з математичним сподіваням М(Х)= -1 і дисперсію D(X)=10. Записати вирази для щільності розподілу ймовірностей f(x) та функції розподілу F(x) і побудувати їх графіки. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини на проміжок [-4,2]. Яка ймовірність відхилення випадкової величини від її математичного сподівання більше, ніж на 2 одиниці?

6. Система випадкових величин () задана таблицею розподілу.

	-2	-1				с+1
-3	0,01	0,03	0,04	0,01	0,03	0,01
-2	0,03	0,01	0,02	0,05	0,03	0,01
-1	0,01	0,04	0,01	0,03	0,02	0,01
	0,02	0,09	0,02	0,01	0,05	0,08
с-1	0,03	0,01	0,04	0,07	0,02	0,06

Знайти: а) двовимірну функцію розподілу, б) ряди розподілу кожної випадкової величини, в) одновимірні функції розподілу, г) числові характеристики системи: математичне сподівання, дисперсію, кореляційний момент, д) умовне математичне сподівання випадкової величини , якщо випадкова величина набула значення –2, - кількість букв у прізвищі.

 

ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

,

1. 1. Д (Х-У)= а; Д(Х) – Д(У) -?

2. Д(Х) + Д(У) -?, якщо Х, У – незалежні

3. Д(Х) +Д(У)+2К_ху.

 

4. А і В – незалежні

1. Р (АВ) = Р(А)·Р(В);

2. Р(АВ)=Р(А) ·Р_А(В);

3. Р(АВ)=Р(В)·Р_В(А).

 

3. Х- дискретна в.в.

1. М(Х) = М(кХ)=КМ(Х)

2. , М(кХ)=КМ(Х)

3. , М(кХ)=М(Х).

 

ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ В.В.

1. Задано закон розподілу ДВВ

 

Х
Р	0,2	0,3	а	0,1

 

а) 1) а = 0,3 б) 1) 5<M(x)<7 в) 1) (x)=2,194

2) а = 0,4 2) M(x)<5 2) (x)=3

3) а = 0,5 3) M(x)=5 3) (x)<2,194

 

2.

Х	N-2	N-1	N+1	N+2
Р	0,2	0,3	0,3	0,2

1) М(х) =N; 1) D(x) = N² +2,2;

2) M(x)<N; 2) D(x)=2,2;

3) M(x)>N; 3) D(x)= N² –2,2.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З РОЗДІЛУ

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Лабораторна робота № 1

 

У ста випадково обраних пунктах обміну валюти було зафіксовано дані про

курс продажу долара. Було отримано наступну вибірку:

5.2 5.1 5.0 5.0 5.0 5.0 5.4 5.4 5.2 5.2 4.6 5.0 4.7 5.1 5.0 5.0 4.8 5.4 4.8 5.0 5.2 5.1 4.9 4.6 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 5.0 4.6 4.7 5.1 4.9 4.8 4.9 5.2 4.6 5.1 5.0 5.3 5.1 5.1 4.9 5.3 4.6 4.9 4.8 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.3 5.2 5.0 5.1 4.7 5.0 5.0 4.9 4.8 5.1 4.8 4.9 5.1 5.1 4.8 4.7 5.2 4.8 4.8 4.9 5.2 4.8 5.1 5.0 5.3 5.0 5.1 4.9 5.3 4.8 4.9 4.8 5.0 5.1 5.1 5.1 4.8 4.7 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 4.8

5.0

 

На основі приведених вибіркових даних:

1. Знайти середнє значення курсу долара , а також наступні числові характеристики вибіркової сукупності: .

2. Розбиваючи на дев’ять рівних інтервалів побудувати інтервальний ряд.

3. Згідно інтервальному ряду побудувати гістограму розподілу відносних частот.

4. За критерієм Пірсона перевірити з рівнем значущості а) a = 0,01, б) a = 0,05 гіпотезу про нормальний закон розподілу у сукупності.

5. У випадку, якщо вибіркові дані відповідають нормальному закону розподілу, з надійністю а) 0,95, б) 0,99 знайти довірчий інтервал для .

 

 

Лабораторна робота № 2

 

В таблиці записані статистичні дані з п’ятнадцяти ділянок про урожайність зернових Y в залежності від кількості добрив X.

 

Y =уі, ц/га

X =хі, т/га

 

На основі приведених даних потрібно:

1. Виявити кореляційно - регресійну залежність урожайності від кількості добрив; обчислити числові характеристики: вибірковий кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.

2. На координатній площині побудувати точки (х_і, у_і). Проаналізувати, чи існує лінійна залежність між випадковими величинами X та Y.

3. Знайти рівняння лінії регресії та за цим рівнянням побудувати графік прямої.

4. Скориставшись знайденим рівнянням лінії регресії знайти (спрогнозувати) якою буде урожайність, якщо кількість добрив прийме наступне значення: а) х= 7,5; б) х= 32.

 

ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З РОЗДІЛУ «МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

 

1. Записати емпіричну функцію розподілу для вибірки, яка представлена статистичним рядом:

хі	-2
nі

Розв’язання: Емпіричною функцією розподілу називається функція, яка має вигляд ,

де n- обсяг вибірки, n_х- число значень випадкової величини Х у вибірці, які менші за х. Тоді запишемо емпіричну функцію розподілу

 

2. Побудувати гістограму частот для інтервального статистичного ряду

 

Х	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14
nі

Розв’язання: Знайдемо суму частот вибірки: .

Нижче, на рисунку зображена гістограма. При цьому, основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу , а висота дорівнює .

 

3. Протягом 10 днів в банку фіксували кількість підписаних договорів за один день. Отримали наступну вибірку: 15, 20, 14, 17, 15, 22, 18, 17, 20, 21. Знайти вибіркове середнє, вибіркову дисперсію та незміщену вибіркову дисперсію для кількості підписаних договорів за один день.

Розв’язання: Для знаходження вибіркового середнього скористаємось формулою (2):

Вибіркову дисперсію знайдемо за формулою (4):

=

Незміщена (виправлена) вибіркова дисперсія:

.

 

4. Із сукупності, що розподілена за нормальним законом зроблена вибірка об’єму . З надійністю знайти довірчий інтервал для математичного сподівання а, якщо дисперсія дорівнює а) , б) . Як зміниться довірчий інтервал, якщо об’єм вибірки збільшиться. Розв’язати задачу для випадку .

Розв’язання: За формулою (9) знайдемо t

. Тоді з таблиці 2 знайдемо число t=1,96.

З нерівності (8) отримаємо такий довірчий інтервал:

для випадку а):

для випадку б):

Отже, при збільшенні дисперсії довірчий інтервал збільшується, а отже точність оцінки зменшується.

У випадку отримаємо наступні довірчі інтервали:

а)

б)

 

5. Для даного інтервального статистичного ряду перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості = 0.05.

Х	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2

Розв’язання: Перевіримо цю гіпотезу, скориставшись критерієм Пірсона. Нормальний закон розподілу залежить від двох параметрів: та . Замінимо ці параметри їх відповідними точковими оцінками . Для цього знайдемо вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, причому за представника кожного інтервалу візьмемо його середину:

Отже .

Для нормального закону розподілу ймовірність попадання випадкової величини Х на інтервал знаходять за формулою:

,

де - функція Лапласа (див. Таблицю 2). Знайдемо значення теоретичних частот для кожного інтервалу. Покажемо як це робиться на прикладі третього інтервалу:

Потім складаємо порівняльну таблицю чисел: статистичних частот і відповідних їм значень ().

інтервали	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
	2,48	11,23	28,46	39,60	30,92	13,45	3,25

 

За формулою (13) визначаємо міру відхилення емпіричних частот від теоретичних: .

 

Визначимо за формулою (14) число степенів свободи: k =7-2-1=4. За таблицею 3 знайдемо критичне значення критерію при рівні значущості : .

Відповідь: оскільки спостережене значення критерію менше ніж критичне, то гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається.

6. В таблиці представлені статистичні дані про капітальні вкладення Х (в тис. грн..) і чистий дохід У (в тис. грн..). Знайти рівняння лінії регресії.

Х=хі
У=уі	3,0	3,5	4,0	4,2	4,6	5,0	5,2

 

Розв’язання: Спочатку знайдемо числові характеристики (вибіркове середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення) окремо для випадкової величини Х та У.

,

,

,

.

Тоді відповідні середньоквадратичні відхилення будуть

, .

Оскільки так як дані таблиці не повторюються, то для обчислення кореляційного моменту скористаємось формулою (15). В даному випадку будемо мати: . Тоді вибірковий коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою (17):

.

Підставимо знайдені значення в рівняння (18) і отримаємо:

.

Отже, рівняння лінії регресії має вигляд .

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ (денна форма)

Кафедра вищої математики

Навчальний предмет теорія ймовірностей та математична статистика

Спеціальність Семестр 2

Екзаменаційний білет №

Завдання 1

а) розв’яжіть рівняння

б) Біноміальний закон розподілу. У виробництві деякої продукції третій сорт становить 25%. Знайти ймовірність того, що з семи навмання взятих виробів цієї продукції не менше ніж три будуть третього сорту.

Завдання 2

а) Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Випадкова велична Х має такий закон розподілу

хі
рі	0,16	р	0,34	0,25

Побудувати полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Знайти .

б) Обчислити a, M(x), D (x), якщо

 

 

Завдання 3

а) Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.

Ймовірність укладання угоди за результатами ділових переговорів дорівнює 0,7. Випадкова величина Х – число укладених угод після 4 ділових зустрічей. Знайти закон розподілу випадкової величини. Знайти

б) Щільність розподілу неперервної випадкової величини має вигляд

 

Знайти параметр С, та .

Завдання 4

а) Задано таблицю розподілу системи двох випадкових величин

Х У
	0,2	0,15	0,15	а
	0,21	0,05	а	0,05

 

 

Обчислити кореляційний момент системи випадкових величин.

 

 

б) Щільність розподілу функції випадкового аргументу.

Задано Знайти g (y), якщо Y=x²

 

Завдання 5

а) Середнє квадратичне відхилення вибірки. За даними вибірки знайти вибіркову середню і середнє квадратичне відхилення.

0;1;0;2;3;1;2;1;3;0;1;2;1;3;1;2;0;1;2;3.

б) Маємо дані про розміри основних фондів на випадково вибраних підприємствах

3,8,1,35,42,03,23,31,43,72,73,92,06,15,5,25,53,93,24,84,34,12,2

Побудуйте інтервальний статистичний ряд , обчисліть та побудуйте гістограму.

Завдання 6

а) З великої кількості електричних ламп зроблена вибірка . Середній час горіння ламп із вибірки виявився рівним 10000 годин. З надійністю Знайти довірчий інтервал для середнього часу горіння електролампи а, якщо його год.

б) За двовимірним статистичним розподілом вибірки

Х У
			-
	-

 

 

Записати рівняння регресії:

 

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від__________

Зав. кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор_______________