Оператор лагу і моделі з раціонально розподіленими лагами

Оператор лагу вводиться для спрощення викладок. Він визначається за допомогою співвідношення

Наведемо деякі корисні алгебраїчні властивості оператора лагу

де - костанта.

З використанням оператора лагу основна модель (2.35) набуде вигдяду

(2.48)

де (2.49)

поліном відносно .

Вираз як збіжний степеневий ряд можна проінтерпретувати як розклад в ряд Тейлора функції . Йоргенсон в запропонував розглянути моделі, в яких функція є раціональною, тобто

(2.50)

Підставимо (2.50)до (2.48), поклавши :

Помножимо обидві частини останньої рівності на :

звідки

(2.51)

де

і (2.52)

Рівняння (2.51) задає модель з раціонально розподіленними лагами в авторегресійній формі. Ця модель узагальнює дві розглянуті раніше моделі. Поклавши в (2.51) і одержуємо модель з геометрично розподіленими лагами. Модель з розподілом лагів Паскаля одержуємо, якщо і .

 

Моделі з нескінченою довжиною лагів і економічна теорія

Всі моделі з нескінченою довжиною лагів розглягуті вище, вдалось привести до авторегресіної форми.

Відповідні перетворення мали технічний характер, оскільки здійснювались з метою позбутися від нескінченної кількості невідомих параменрів в моделях. В цьому розділі ми розглянемо приклади з економічної теорії, які безпосередньо призводять до авторегресійної форми моделей з розподіленними лагами.

 

2.6.1.Модель часткового пристосування

Цю модель запропонував Марк Нерль. Він припустив, що поточний рівень пояснюючої змінної визначає «бажаний» рівень залежної зміної :

(2.53).

Наприклад, бажаний рівень запасів фірми є функцією від рівня продаж, бажаний рівень капіталу в економіці є функцією випуску.

Однак, бажаний рівень не можна спостерігати і, отже, використовувати для оцінювання. Завдяки різним причинам існує різниця між бажаним і фактичним рівнями залежної зміної:

(2.54)

Тобто, з точністю до збурення фактичний приріст залежної зміної є меньшим від бажаного в разів.

Рівняння (2.55) відоме як рівняння часткового пристосування, а називається коефіцієнтом пристосування.

Чим ближче до одиниці, тим швидше фактичний рівень наближається до бажаного.

Запишемо (2.54) у такому вигляді

(2.55)

З (2.55) видно, що фактичне значення залежної змінної в момент дорівнює зваженому середньому її бажаного значення в момент і фактичному значенню в момент .

Підставимо (2.53) до (2.55):

Звідси

(2.56)

Якщо не брати до уваги властивості збурень, то (2.56)є авторегресійною формою моделі з геометричним розподілом лагів.

 

Модель адаптивних очікувань

В моделі адаптивних очікувань, запропонованій Кейганом, «очікуваний» рівень пояснюючої змінної визначає поточний рівень залежної змінної :

(2.57)

Наприклад, сукупний попит на гроші є функцією очікуваної довгостркової відсоткової ставки, обсяг попиту є функцією очікуваної ціни, рівень споживання є функцією очікуваного або перманентного доходу.

Кейган припустив, що очікувані значення коректуються з урахуванням нової інформації:

(2.58)

Оскільки , то зміна очікуваного рівня є завжди меньшою ніж різниця між фпктичним значенням і його очікуваним значеням .

Рівняння (2.58) відоме як «рівняння адаптивних очікувань» або «рівняння навчання на похибках».

Коефіцієнт називається «коефіцієнтом очікувань». Чим більше , тим в більшій мірі реалізуються очікування в період .

У крайньому випадку всі очікування реалізуються протягом поточного періоду.

Запишемо (2.58)у такому вигляді

(2.59)

звідки видно, що очікуване значення є зваженим середнім фактичного і попереднього очікуваного значення.

Підставимо (2.59) до (2.57):

(2.60)

Запишемо (2.60)для моменту , результат помножимо на (1- ) і віднімемо від (2.59):

(2.61)

Таким чином, ми одержали модель з геометрично розподіленими лагами, записану а авторегресійній формі. Якщо збурення у вихідній моделі (2.62) є класичними (тобто гомоскедастичними і некорельованими), то збурення в моделі, записаній у вигляді (2.61) генеруються процесом MA(1). Однак не слід думати, що модель адаптивних очікувань з необхідністю веде до появи автокорельованих збурень в авторегресійній формі моделі. Наприклад, якщо в (2.57)

e_t= (1-d) e_t-1+u_t,

то u_t являють собою збурення в моделі (2.61). Зрозуміло, що u_t можуть бути некорельованими і гомоскедастичними. Оскільки апріорі невідомо, якими є властивості збурень вихідної моделі в конкретних ситуаціях, то зі сказаного можна зробити висновок, що та чи інша економічна модель, яка призводить до моделі з геометричними лагами, взята сама по собі, не визначає властивості збурень в авторегресійному вигляді останньої. Отже, на нашу думку, правильним підходом буде статистичне визначення властивостей збурень в кожній конкретній ситуації.