Три асимптотично еквівалентні критерії перевірки гіпотез.

1. Критерій відношення правдоподібності (LR).

Нехай -вектор параметрів моделі. Нехай гіпотеза визначає сукупність обмеженнь на значення параметрів. Нехай - ММП-оцінка, знайдена в моделі без обмежень, - ММП-оцінка, знайдена в моделі з обмеженням. Нехай означають значення функцій правдоподібності для необмеженої і обмеженої моделей, знайдені в точках відповідно. При виконанні достатньо необмежливих умов регулярності статистика

асимптотично має розділ - квадрат з кількістю степенів свободи, рівною кількості обмежень. Недоліком критерія є необхідність оцінювати модель в обох випадках – без обмежень і з обмеженнями.

2. Критерій Вальда.

Запишемо гіпотезу про сукупність обмежень у такому вигляді За умови, що обмеження вірні. Статистика Вальда

.

асимптотично має розподіл -квадрат з кількістю степенів свободи, рівною кількістю обмежень (тобто кількості рівнянь в ). Зауважимо, що у випадку коли обмеження є нелінійними, то коваріаційну матрицю оцінюють наступним числом

,

де ,

тобто рядок матриці С складають похідні обмеження відносно всіх елементів . У випадку лінійних обмежень . статистика Вальда набуває вигляду

.

Кількість степенів свободи дорівнює кількості рядків в матриці R. Критерій можна застосувати не тільки для ММП-оцінок, але і для будь-яких консистентних асимптотично нормальних оцінок. Для перевірки гіпотези потрібно мати оцінки тільки в моделі без обмежень. Недоліком критерія є неінваріантність його статистики відносно форми запису обмежень.

3. Критерій множників Лагранжа (LM).

Як і в попередньому випадку запишемо гіпотезу у вигляді. Для застосування цього критерію, потрібно знати оцінку в моделі з обмеженнями і записати функцію правдоподібності в моделі без обмеженнь. Статистика критерію

асимптотично має розподіл -квадрат з кількістю степенів свободи, рівною кількості обмежень.

Вибір критерія, як правило здійснюється з огляду на те, який з них простіше застосувати. Перевіряючи нелінійні обмеження, при можливості уникають використання критерія Вальда внаслідок його неінваріантності.

 

 

2.5.2.Розподіл лагів Паскаля

Дана модель запропонована Солоу.

Коефіцієнти в основному рівнявнні (2.35) визначаються так

для , (2.45)

де

(2.46)

Де - натуральне число, .

На відміну від моделі з геометричним розподілом лагів, в якій коефіцієнти монотоно спадають, тепер коефіцієнти наслідують схемі «оберненого V».

Для того, щоб записати модель з розподілом лагів Паскаля підставимо (2.45) до (2.35)

(2.47)

В моделі (2.47) невідомі параментри . Зауважимо, що модель з геометрично розподіленими лагами є частковим випадком (2.47) при .

Вплив параметра на характер розподілу лагів проілюстровано на рисунку 2.2, на якому зображено графік вагів для і відповідно.

 

Рисунок 2.1

Модель з розподілом лагів Паскаля також можна записати у вигляді авторегресійної моделі.

Згадаймо, що однію з основних переваг моделей з розподіленими лагами є можливість досліджувати розподіл в часі реакції залежної змінної на зміну визначальних факторів. Причиною уведення структур розподілів лагів, розглянутих нами, були такі недоліки моделей з необмеженими лагами як мультиколінеарність і необхідність визначення максимальної довжини лагу (надійність статистичних методів визначення максимальної довжини лагу також зменшується внаслідок мультиколінеарності). Проблема максимальної довжини лагу стосується і моделей з поліномільно розподіленими лагами. Моделі з геометричним розподілом лагів спираються на припущення, що величина реакції з самого початку монотонно спадає в часі. На практиці таке припущення виконується далеко не завжди. Наведемо такий тривіальний приклад. Припустимо, що ми використовуємо щомісячні дані, а максимальна реакція проявляє себе через 4 місяці. Зрозуміло, що в такому випадку найбільший коефіцієнт має бути при Y_t-4. Таким чином, на нашу думку розподіл лагів Паскаля є найбільш гнучким засобом моделювання серед розглянутих нами, хоча, як ми побачимо у параграфі 6, в деяких випадках вигляд розподілу лагів можна вивести з економічних міркувань. У наступному підпараграфі ми розглянемо подальше узагальнення розподілу лагів Паскаля.