Асимптотичні властивості МНК-оцінок.

В багатьох випадках скінченовимірні властивості оцінок найменших квадратів, описані вище, можуть не зберігатись. Так, якщо збурення не є нормально розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Якщо порушується умова, що всі некорельовані зі всіма , математичне сподівання b не дорівнюватиме . Більш того, модель лінійної регресії, збурення в якій задовольняє всі класичні умови є однєю з небагатьох в економетриці, коли відомий точний скінченновимірний розподіл оцінок параметрів.

При послаблені деяких з класичних припущень або при переході до інших моделей скінченновимірні властивості оцінок як правило, невідомі. В таких випадках для характеризації інший підхід, який грунтується на асимптотичній теорії. Асимптотична теорія відповідає на питання, що трапиться, якщо гіпотетично розмір виборки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості використовуються для апроксимації скінченновимірних властивостей.

Консистентність.

Послідовність оцінок параметра , де - розмір виборки, називається консистентною якщо збігаються за ймовірністю до справжнього значення параметра:

, тобто

На відміну від ситуації незалежної виборки тут нам знадобляться додаткові умови стосовно матриці значень незалежних змінних . Припустимо, що збігається до несингулярної матриці . Точці умови, що забезпечують збіжність , ми наводити не будемо. Зауважимо, що вони виконуються у більшості практичних ситуацій з просторовими даними й з стаціонарними числовими рядами.

Стосовно збурень достатньо двох припущень

Зауважимо, що умови консистеності не потребують припущень про рівність дисперсій і некорельованість збурень.

При виконанні уведених умов

.

Умова є значно слабшою у порівнянні з умовою про некорельованість всіх зі всіма а не тільки з , яка необхідна для забезпечення незміщенності. Так, наприклад, в моделі

оінки параметрів будуть зміщеними, але будуть консистентними, якщо

Кажучи, не зовсім строго, консистентність означає, що при зростанні розділу виборки ймовірність того, що оцінки будуть набагато відрізнятись від параметра прямує до нуля.

В багатьох випадках неможливо довести незміщеність оцінки, або, взагалі, незміщену оцінку знайти неможливо (наприклад, для нелінійних моделей, або моделей з лаговими значеннями залежної змінної серед регресорів, як в попередньому прикладі). В таких ситуаціях мінімальною вимогою до оцінок є консистентність. Зручною властивістю є наступна. Якщо і є неперервною функцією,то . Зауважимо також, що для консистентності як оцінки до уведених умов слід додати умову про рівність дисперсій збурень.

Асимптотична нормальність.

Властивість асимптотичної нормальності дозволяє використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність збурень, оскількі відповідні статистики, приблизно, матимуть потрібні розподіли. Припустимо, що крім припущень, уведених у попередньому параграфі виконують припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді збігається за розподілом до . Оскільки невідома матриця консистентно оцінюється за допомогою , а через , то на практиці приблизним розподілом b є

,

що співпадає з точною формулою у випадку класичних нормально розподілених збурень.

Моделі в яких порушуються припущення про рівність дисперсії і про некорельованість збурень розглядаються, відповідно, у темах “гетероскедастичність” і “автокореляція ”. В цих ситуаціях поруч зі специфічними методами можна використовувати звичайний метод найменших квадратів, але при цьому слід використовувати інші оцінки коваріаційної матриці b. МНК-оцінки зберігають властивість асимптотичної нормальності:

,

де замість S слід підставити оцінки, які наведено у відповідних параграфах.

 

1.4. Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями.

1.4.1. Вступ

В цьому розділі ми розглянемо регресійні моделі, в яких порушується припущення 2 – про рівність дисперсій збурень.

Проаналізуємо залежність особистого споживання від доходу. Згадаємо, що збурення в моделі лінійної регресїї можна вважати відхиленням рівня споживання конкретного домогосподарства від середнього рівня, який відповідає даному розміру доходу. Логiчно очiкувати, що для домогосподарств з більшими доходами спостерiгатиметься бiльший розкид рівнів споживання. Отже, оскільки дисперсія збурень є мірою цого розкиду, то припущення про рівність дисперсій збурень в такій моделі буде нереалістичним.

Наведений приклад показує необхідність вивчення нового класу моделей, які узагальнюють класичну модель лінійної регресії – моделей з гетероскедастичними збуреннями.

Опис моделi.

Нам знадобляться наступні позначення. Літерою u позначимо вектор збурень у вихідній моделі, а літеру e зарезервуємо для позначення збурень, які задовольняють припущенням 1 – 5 з параграфа 1.2.1.

Розглянемо модель лінійної регресії

, (1.73)

або, якщо ми маємо модель з константою,

, (1.74)

в якій вектор збурень u = (u₁, u₂... u _n)^T має такi властивостi:

1.

2. Гетероскедастичність збурень: Du _i = , , при .

3. Незалежність збурень: u _і та u _j незалежні при .

4. Незалежність збурень та регресорів: x_ij та u _і незалежні для всіх i та j.

5. (Додаткове) Збурення u _i нормально розподілені для всіх i.

Припущення 2 і 3 зручно записувати у матричному вигляді:

(1.75)

 

1.4.3. Наслiдки гетероскедастичності збурень на оцiнки методу найменших квадратiв

1.Оцiнки МНК будуть незмiщеними, але не будуть ефективними (не матимуть найменшої дисперсiї).

2.Стандартнi оцiнки коварiацiйної матрицi оцiнки МНК будуть змiщеними, i, як наслiдок, процедури перевiрки гiпотез та iнтервального оцiнювання, основанi на стандартних статистиках, будуть некоректними.