Математические модели операций

 

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какая-то математическая модель. При построении модели реальное явление (в нашем случае – операция) неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида операции, ее целевой направленности, с учетом задачи исследования (какие параметры требуется определить и влияние каких факторов отразить). Необходимо также в каждом конкретном случае соразмерять точность и подробность модели:

а) с той точностью, с которой нужно знать решение;

б) с той информацией, которой мы располагаем или можем приобрести.

Если исходные данные, нужные для расчетов, известны неточно, то, очевидно, нет смысла входить в тонкости, строить очень подробную модель и тратить время (свое и машинное) на тонкую и точную оптимизацию решения. К сожалению, этим принципом часто пренебрегают и выбирают для описания явлений слишком подробные модели.

Математическая модель должна отражать важнейшие черты явления, все существенные факторы, от которых зависит успех операции. Вместе с тем модель должна быть по возможности более простой. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая – увязнуть в подробностях и вторая – слишком огрубить явление. Создание математической модели – самая важная и ответственная часть исследования, требующая глубокого знания не столько математики, сколько существа моделируемых явлений.

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. До недавнего времени большинство таких задач решалось исходя из здравого смысла и опыта лиц, принимающих решения, или просто «на глаз». При таком подходе не было и не могло быть никакой уверенности, что найденный вариант – наилучший. При современных масштабах производства даже незначительные ошибки оборачивались громадными потерями. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием – математическое программирование.

Определение: Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Определение: Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности.

Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель.

Определение: Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.д.

Математическая модель задачи математического программирования включает:

· совокупность неизвестных величин

,

действуя на которые систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, стратегией, поведением и др.);

· целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение;

· условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы, но и таковыми могут быть возможности технического, технологического и, вообще, научного потенциала. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). Объединение всех условий (ограничений), налагаемых на известные (искомые) величины задачи, обозначим: W (хÎW). При таких обозначениях модель задачи математического программирования примет вид: max (min) Z = z(x), xÎW, или найти extremum Z = z(x), xÎW.

В развернутом виде: найти план , доставляющий экстремальное значение целевой функции z, т.е.

max (min) Z = z

при ограничениях

Замечание: надпись «» означает «i изменяется от 1 до m».

Из экономических или физических соображений на план задачи или некоторые его компоненты (координаты) накладываются условия не отрицательности:

,

иногда – целочисленности.

Определение: План Х, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым (ХÎW).

Определение: Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным.

Оптимальный план будем обозначать , экстремальное значение функции цели – z()= . Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственное, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесконечное множество оптимальных решений.