Высказывания и логические операции над ними. Формулы алгебры логики

Понятие высказывания является основным неопре­деляемым понятием математической логики. Под выс­казыванием понимают любое повествовательное предло­жение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическое значе­ние высказывания «истина» («ложь») обозначается или буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами.

Отрицанием высказывания а называется высказы­вание , которое истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно. Высказывание читается так: «Не а». Таб­лица истинности для имеет вид:

а
1

Конъюнкцией высказываний а,b называется выска­зывание a b (а&b), которое истинно, если а и Ъ истин­ны и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказы­вание а b читается: «а и b».

Дизъюнкцией высказываний а,b называется выска­зывание a b, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний а или 6 истинно, и ложно, если оба они ложны. Читается: «a или b».

Импликацией высказываний а,b называется выска­зывание а b, которое ложно, если а истинно и b лож­но, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если а, то b».

Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказы­ваний а,b называется высказывание а b, которое ис­тинно, если оба высказывания а и 6 одновременно ис­тинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Читается: «а тогда и только тогда, когда b».

Таблица истинности для этих логических операций такова:

а	b	a b	a b	а b	а b

Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные).

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения выше определенных пяти логических опера­ций, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать больши­ми латинскими буквами. Логические значения форму­лы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.

Формула А, всегда истинная, называется тожде­ственно истинной формулой или тавтологией и запи­сывается А 1. Формула В, всегда ложная, называется тождественно ложной формулой и записывается B 0.

Пример 1. Среди следующих предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны:

1) река Волхов впадает в озеро Ильмень;

2) всякий человек имеет брата;

3) пейте томатный сок!;

4) существует человек, который моложе своего отца;

5) который час?;

6) ни один человек не весит более 1000 кг;

7) 23<5;

8) для всех действительных чисел х и у верно равен­ство х+у=у+х;

9) х²-7x + 12;

10) x²-7x+ 12 = 0.

Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6), 8) - истинные, а высказывания 1), 2), 7) - ложные. Пред­ложения 3), 5), 9), 10) не являются высказываниями.

Пример 2. Пусть a - высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», b - высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать сло­весную формулировку высказываний:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике»; б) «Если студент Иванов изучает английский язык, то он успева­ет по математической логике»; в) «Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тог­да, когда он не изучает английский язык».

Пример 3. Доставить таблицу истинности для выс­казывания .

Решение. Таблица истинности для высказывания имеет вид:

а	b

1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

1) Москва - столица России;

2) студент физико-математического факультета;

3) ;

4) Луна есть спутник Марса;

5) а>0.

1.2. Приведите примеры предложений, а) являющих­ся высказываниями; б) не являющихся высказываниями.

1.3. Верны ли утверждения:

1) сумма корней приведенного квадратного уравне­ния равна свободному члену;

2) сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;

3) существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна свободному члену?

1.4. Установите, истинно или ложно высказывание:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , где P (N)- множество всех подмножеств множества N;

6) ;

7) { };

8) {l,-l,2} ;{ x | x ³+ x ²- x -l = 0, x Z};

9) { x | x ³+ x ²- x -1 = 0, x Z} {1,-1,2};

10) N;

11) { } { };

12) { } { ,{ }}.

1.5. Является ли высказыванием следующее предло­жение: «Это предложение ложно»?

1.6. Среди следующих высказываний указать эле­ментарные и составные. В составных высказываниях выделить грамматические связки:

1) число 27 не делится на 3;

2) число 15 делится на 5 и на 3;

3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;

4) число 7 является делителем числа 42;

5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.

1.7. Обозначьте элементарные высказывания буква­ми и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

1) 45 кратно 3 и 42 кратно 3;

2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;

3) =5 или =-5;

4) 2 5;

5) если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;

6) число 212 - трехзначное и кратно 3 или 4.

1.8. Пусть р и q обозначают высказывания:

р - «Я учусь в школе»,

q - «Я люблю математику».

Прочтите следующие сложные высказывания:

1) ; 2) 3) p&q; 4) p& ; 5) &q; 6) & ; 7) .

1.9. Какие из следующих импликаций истинны:

1) если 2x2 = 4, то 2<3;

2) если 2x2 = 4, то 2>3;

3) если 2x2 = 5, то 2<3;

4) если 2x2 = 5, то 2>3?

1.10. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:

1) a = 1, а & b = 0; 2) a = 1,a b = 0;

3) а = 1, а & b = 1; 4) а = 1, a b = l;

5) a = 0, а & b = 1; 6) а = 0, a b = 1;

7) а = 0, a&b = 0; 8) а = 0, a b = 0.

1.11. Пусть x, x', y, у' означают соответственно «7 -простое число», «7 - составное число», «8 - простое чис­ло», «8 - составное число»:

1) какие из предложений х&у, х&у', х'&у, х'&у' истинны и какие ложны?;

2) то же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию;

3) то же для предложений .

1.12. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истин­ными:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) .

1.13. Найдите логические значения х и у, при кото­рых выполняются равенства:

1) ; 2) .

1.14.

1) Известно, что импликация х у истинна, а эк­вивалентность х у ложна. Что можно сказать о зна­чении импликации у х?

2) Известно, что эквивалентность х у истинна. Что можно сказать о значении и ?

3) Известно, что х имеет значение 1. Что можно ска­зать о значениях импликации ; ?

4) Известно, что у имеет значение 1. Что можно

сказать о значениях ; ; ?

1.15. Пусть x = 0, у = 1, z = 1. Определить логичес­кие значения нижеследующих сложных высказываний:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

1.16. Показать, что логические связки , , , , где л - фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истиннос­ти, что и импликация .

1.17.

1) Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

2) Аналогично этому постройте с помощью отрица­ния и импликации формулу, таблица для которой со­впадает с таблицей для дизъюнкции, ивторую формулу с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции.

1.18. Составить таблицы истинности для формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

1.19. Установить, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно лож­ными:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

 

§ 2. Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы алгебры логики А и Б называются равносильными, если онипринимают оди­наковые логические значения на любом наборе значений

входящих в них высказываний (А В).

Важнейшие равносильности можно разбить на три группы:

I. Основные равносильности.