Логические операции с простыми суждениями :превращение, обращение,противопоставление

Логические операции с суждениями затрагивают их типы и виды, их субъектно-предикатную структуру и т. д. Среди данных операций выделяют две наиболее общие и важные группы: преобразование простых и сложных суждений и отрицание данных суждений.

Преобразование суждений – выяснение точного логического смысла суждения. Это достигается посредством таких логических операций, как обращение, превращение, противопоставление субъекту и противопоставление предикату.

Обращение – это непосредственное умозаключение, состоящее в преобразовании категорического суждения в такое суждение, субъектом которого является предикат исходного, а предикатом – субъект исходного суждения.

Другими словами, при выводе с помощью обращения субъект и предикат меняются местами. При этом в случае, когда исходным суждением (посылкой) является общеутвердительное суждение, меняется также количество суждения, то есть заключение становится частным. Такое обращение называется «обращением с ограничением» или «чистым обращением».

Формы выводов с помощью обращения:

1) для общеутвердительного суждения:
Все S есть Р.
Некоторые Р есть S.

2) для общеотрицательного суждения:
Ни одно S не есть Р.
Ни одно Р не есть S.

3) для частноутвердительного суждения:
Некоторые S есть Р.
Некоторые Р не есть S.

4) для частноотрицательного суждения путём обращения нельзя логически правильно вывести какое-либо заключение, так как в этом случае нарушается общее правило выводов из категорических суждений: термин, не распределённый в посылках, не должен быть распределён в заключении.

 

Превращение (обверсия) – это преобразование суждения путем перемены его качества на противоположное. Количество суждения, его субъект и предикат при этом не меняются. Например: «Все адвокаты – юристы». Посредством превращения данное суждение преобразовывается в следующее: «Ни один адвокат не является неюристом».

Другими словами, при выводе с помощью превращения отрицательное суждение преобразуется в утвердительное и, наоборот, утвердительное – в отрицательное, а предикат берётся с отрицанием (то есть Р меняется на не-Р или не-Р на Р).

Формы выводов с помощью превращения:

1) для общеутвердительного суждения:
Все S есть Р.
Ни одно S не есть не-Р.

2) для общеотрицательного суждения:
Ни одно S не есть Р.
Все S есть не-Р.

3) для частноутвердительного суждения:
Некоторые S есть Р.
Некоторые S не есть не-Р.

4) для частноотрицательного суждения:
Некоторые S не есть Р.
Некоторые S есть не-Р.

Противопоставление предикату - это преобразование категорического суждения, в результате которого субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом - субъект исходного суждения.

Такой вывод можно сделать, последовательно применяя превращение исходного суждения и далее обращение полученного при этом суждения либо следуя правилам для противопоставления предикату:

1) для общеутвердительного суждения:
Все S есть Р.
Ни одно не-Р не есть S.

2) для общеотрицательного суждения:
Ни одно S не есть Р.
Некоторые не-Р есть S.

3) для частноотрицательного суждения:

Некоторые S не есть Р.

Некоторые не-Р есть S.

4) для частноутвердительных суждений нельзя проводить вывод путем противопоставления предикату, так как после превращения исходного суждения получается частноотрицательное суждение, для которого не применяется операция обращения.

Пример. Противопоставление предикату для частноотрицательного суждения «Некоторые озера не имеют стока»:

Некоторые водоемы, являющиеся озерами (^ S),
не есть водоемы, имеющие сток (Р).

Некоторые водоемы, не имеющие стока (не-Р),
есть водоемы, являющиеся озерами (S).

Противопоставление субъекту - это преобразование категорического суждения, в результате которого субъектом становится предикат исходного суждения, а предикатом - понятие, противоречащее субъекту исходного суждения.

Такой вывод можно осуществить, последовательно применяя обращение исходного суждения, а затем - превращение полученного результата, либо сразу следуя правилам для противопоставления субъекту:

1) для общеутвердительного суждения:
Все S есть Р.
Некоторые Р не есть не-S.

2) для общеотрицательного суждения:
Ни одно S не есть Р.
Все Р есть не-S.

3) для частноутвердительного суждения:
Некоторые S есть Р.
Некоторые Р не есть не-S.

4) для частноотрицательных суждений не используются выводы с применением противопоставления субъекту, так как в процессе этого вывода мы должны были бы сделать обращение частноотрицательного суждения, для которого не применяется вывод посредством обращения.

 

Отношения между суждениями.

4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ

· by admin

· on 09.20.10

· ТЕМА 3. СУЖДЕНИЕ

· Комментарии отключены

·

Атрибутивные простые суждения по содержанию делятся на сравнимые и несравнимые. Несравнимые суждения – суждения, имеющие разные S или Р, или то и другое вместе: «Космос безграничен», «Драконовские законы жестоки».

Сравнимые суждения обладают одинаковыми S и Р, но могут различаться по качеству и количеству. Они делятся на совместимые и несовместимые. Совместимые суждения содержат одну и туже мысль – полностью или частично. Между ними возникают такие логические отношения: а) эквивалентности, б) подчинения, в) частичной совместимости.

а) Эквивалентность (равнозначность) – это отношение между суждениями, у которых S и Р выражены одними и теми же равнозначными понятиями, хотя и разными словами. «Все адвокаты – юристы» – «Все защитники в суде правоведы».

Последующие отношения между атрибутивными – A, E, I, O для наглядности изображаются в виде логического квадрата

 

Таблицы истинности

Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики - на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Однако для установления истинности или ложности сложных суждений опыт не помощник.

Мы договариваемся, или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой будем считать истинными, а когда — ложными. Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой истинно, а в каких - мы будем считать его ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся компонентами сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения - если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же она представляет ложное суждение, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицаний применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным.

 

a	Ø а
и	л
л	и

Если исходное суждение истинно, то его отрицание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы договариваемся считать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

 

	а	b	а Ù b	а Ú b	а Ú ^. b	а ® b	а «b
1.	и	и	и	и	Л	и	и
2.	и	л	л	и	и	л	л
3.	л	и	л	и	и	и	л
4.	л	л	л	л	л	и	и

Следует помнить, что союзы естественного языка гораздо богаче по своему смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотношениям истинности и ложности простых высказываний. Более тонких смысловых связей между этими высказываниями логические связки не учитывают. Поэтому иногда возникает довольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка.

Наиболее отчетливо различие между логическими связками и союзами естественного языка выступает в случае импликации. Союз «если..., то...» обязательно предполагает смысловую, содержательную связь между простыми суждениями, которые он соединяет. Импликация же эту связь игнорирует, для нее безразлично содержание суждений a и b, соединенных знаком «®», важны лишь значения их истинности. Поэтому мы с полным правом можем утверждать, что импликация «Если Луна сделана из зеленого сыра, то Лондон находится во Франции» истинна, т. к. оба входящих в нее простых суждения ложны.

 

 

12. Преобразование сложных суждений.

1. Конъюнкция может быть выражена через дизъюнкцию: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний: ù (А L В) =

ù А V ù В. «Неверно, что Попцов следователь и в то же время судья» равнозначно суждению «Попцов не следователь или он не судья».

2. Дизъюнкция может быть выражена через конъюнкцию: отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний: ù (А V В) =

ù А L ù В. «Неверно, что Смирнов изучал историю в вузе, или что он изучал ее самостоятельно» равнозначно суждению «Смирнов не изучал историю в вузе, и он не изучал ее самостоятельно».

Эти два вида преобразований сложных суждений носят название законов де Моргана.

3. Импликация может быть выражена через конъюнкцию: импликация эквивалентна отрицанию конъюнкции основания и ложного следствия: А→В = ù (А L ù В). «Если Петров милиционер, то он умеет стрелять». «Неверно, что Петров милиционер, и он не умеет стрелять».

4. Импликация может быть выражена через дизъюнкцию: импликация эквивалентна дизъюнкции ложного основания и следствия: А → В =

ù А V В.

«Если Смирнов судья, то он имеет специальное юридическое образование» «Или Смирнов не судья, или он имеет специальное юридическое образование».

Подытоживая сказанное надо отметить, что делая вывод в процессе преобразования суждения можно менять лишь логическую форму сложного суждения, его логический союз. Смысл же суждения должен оставаться тем же самым.

Установить же эквивалентность суждений можно при помощи таблиц истинности. Например, если мы сравним таблицы истинности конъюнкции и слабой дизъюнкции, то видно, что сложное суждение конъюнкции А L В истинно только тогда, когда истинны оба исходных суждения А и В; суждения дизъюнкции А V В ложны только в том случае, когда ложны и А, и В. Таким образом, логические союзы конъюнкции L и дизъюнкции V находятся, можно сказать, в обратной зависимости. Зная это, конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию, а дизъюнкцию через конъюнкцию. Получается именно эквивалентные формы, т.е. такие, которые истинны и ложны при одних и тех же значениях составляющих их суждений.

С помощью этого (благодаря замене одних суждений другими, эквивалентными им) можно упрощать сложные рассуждения, используя одни логические союзы вместо других.

Закон О. де Моргана

Законы де Мо́ргана (правила де Мо́ргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операций при помощи логического отрицания. Открыты шотландским математиком Огастесом де Морганом

Определение [править]

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

not (P and Q) = (not P) or (not Q)

not (P or Q) = (not P) and (not Q)

Обычная запись этих законов в формальной логике:

или

В исчислении предикатов:

В теории множеств:

В виде теоремы:

Если существует операция логического умножения двух и более элементов, операция «и» — (A&B), то для того, чтобы найти обратное от всего суждения ~(A&B), необходимо найти обратное от каждого элемента и объединить их операцией логического сложения, операцией «или» — (~A + ~B). Закон работает аналогично в обратном направлении: ~(A+B) = (~A & ~B)

 

Закон Дунса Скота

 

закон логики классической, характери­зующий логическое противоречие и импликацию материальную. За­кон можно передать так: ложное высказывание влечет (имплици­рует) любое высказывание. Напр.: «Если дважды два не равно четырем, то, если дважды два четыре, вся математика ничего не значит». Первое упоминание закона принадлежит средневековому фило­софу и логику Дунсу Скоту, прозванному «тонким доктором» схо­ластики. Амер. философ и логик К. И. Льюис (1883-1964), поло­живший начало исследованию модальной логики, отнес данный закон к парадоксальным положениям классической логики. В пред­ложенной самим К. И. Льюисом новой теории логического следо­вания — т. наз. теории строгой импликации — 3. Д. С. не­доказуем. Но в этой теории есть собственный аналогичный парадокс, говорящий уже о логической невозможности: логически невоз- можное высказывание влечет любое высказывание. Напр.: «Если снег бел и вместе с тем не бел, трава бывает только черной». С использованием символики логической (р, q — некоторые выска­зывания; ~ - отрицание, «неверно, что»; —> импликация, «если, то») 3. Д. С. выражается формулой: ~p->(p->q), если неверно, что p, то если р, то q; или эквивалентной ей в класси­ческой логике формулой: (p&~p)->q, если р и не-р, то q. Если принимаются высказывание и его отрицание, то, исполь­зуя данные формулы в качестве схем вывода, можно получить лю­бое высказывание. В подобного рода переходах есть элемент пара­доксальности. Особенно заметным он становится, когда в качестве следствия берется явно ложное и совершенно не связанное с по-сылками высказывание. Напр.: «Если Солнце и звезда, и не звезда, то Луна сделана из зеленого сыра». 3. Д. С. есть своего рода предостережение против принятия лож­ного высказывания: введение в научную теорию такого высказыва­ния ведет к тому, что в ней становится доказуемым все что угодно и она перестает выполнять свои функции. Однако предостережение не настолько очевидно, чтобы стать одним из правил логического следования. Не все современные описания следования принимают 3. Д. С. в качестве правомерного способа рассуждения. Уже построены теории логических связей, в которых этот и подобные ему способы рассуждения считаются недопустимыми. Если 3. Д. С. не принимается, то появление противоречия в сис­теме утверждений становится допустимым. Такое более «терпи­мое» отношение к противоречию лежит в основе логических тео­рий, получивших название паранепротиворечивой логики.

ЗАКОН КЛАВИЯ

Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Или иначе: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является её работа, то машина работает.

Закон назван именем Клавия — учёного-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своём комментарии к «Геометрии» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из её допущения, что она является ложной.

Символически закон Клавия представляется формулой:

(~ А -> А) -> А,

если не- А имплицирует А, то верно А.

Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не- А Например, нужно доказать утверждение «У трапеции четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что у трапеции четыре стороны». Если из этого отрицания удаётся вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.

Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последний утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора, на самом деле истинно.

Закон Клавия — один из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.

К закону Клавия близок по своей структуре уже упоминавшийся логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем закон Клавия, представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению.