Исследование основного уравнения динамики вращательного движения и определение момента инерции крестообразного маятника

 

Лабораторная работа № 1.5.

 

Цель работы: экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения.

Принадлежности: крестообразный маятник, милли-секундомер, набор грузов, штангенциркуль.

 

Описание установки и методика измерений

 

Крестообразный маятник представляет собой систему, состоящую из двух шкивов 1 и 2 (рис 5.1) различных диаметров, закрепленных на одной оси, и четырех стержней 3. Стержни расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения под углом 90⁰ друг к другу. Стержни симметрично нагружаются грузами 4 массой m ₀. На один из шкивов наматывается нить, свободный конец которой проходит через блок 5 и нагружается грузом 6 массой m. Груз проходит между окошками фотоэлектрических датчиков 7 и 8, электрические импульсы от которых при прерывании светового потока поступают на миллисекундомер 9 и автоматически включают и выключают его. Вся система смонтирована на колонке 10, установленной на основании.

Основание снабжено регулировочными ножками, обеспечивающими вертикальную установку колонки. На нижней втулке 12 на подставке закреплен тормозной электромагнит, который после подключения к нему

напряжения удерживает с помощью фрикционной муфты систему крестовина - грузы в состоянии покоя. К нижнему

кронштейну 13 прикреплена подставка с резиновыми амортизаторами, ограничивающими движение грузов.

 

 

Рис. 5.1

 

. Первоначальное положение груза можно изменять перемещением подвижного кронштейна 14. Для отсчета высоты на колонке нанесена миллиметровая шкала.

На лицевой панели миллисекундомера размещены клавиши: СЕТЬ - нажатием этой клавиши включается питающее напряжение и производится автоматическое обнуление прибора; СБРОС - установка нуля (нажатие этой клавиши вызывает сброс показаний миллисекундомера); ПУСК - управление электромагнитом (нажатием этой

клавиши освобождается электромагнит и генерируется импульс на начало измерения).

В данной работе исследуется основное уравнение динамики вращательного движения, которое устанавливает

линейную зависимость между приложенным к вращающемуся телу моментом сил и полученным им угловым ускорением , т. е.

,

где I - искомый момент инерции.

Угловое ускорение любой точки можно найти, связав его с линейным тангенциальным ускорением этой же точки, т. е. с ускорением падающего груза а,

, где r, d - соответственно радиус и диаметр шкива. Линейное ускорение а можно определить, измерив путь H, пройден- ный грузом за какой-то отрезок времени t.

.

Окончательное выражение для углового ускорения примет вид

. (5.1)

Активной силой, обуславливающей ускоренное вращение маятника, является сила натяжения нити F_н. Если пренебречь силами трения и инерционностью вращательного блока 5, то можно принять, что

,

где m и а – масса и ускорение ведущего груза.

Тогда вращательный момент, действующий на крестообразный маятник, можно положить равным

,

или в окончательном виде

. (5.2)

 

По данным проведенных опытов с привлечением формул.5.1 и 5.2 можно рассчитать величины M и соответствующие им значения e, а затем построить график зависимости .

Эта зависимость должна быть линейной. Искомый момент инерции определяется из графика как тангенс угла наклона отрезка прямой. Момент инерции ненагруженного маятника вычислить по формуле

, (5.3)

где R - расстояние центра тяжести груза m ₀ до оси вращения.

Порядок выполнения работы

 

1. Убедиться в вертикальной установке прибора.

2. Установить груз с минимальным значением массы.

3. Измерить штангенциркулем диаметры большего шкива D и меньшего шкива d.

4. Подключить сетевой кабель в розетку и нажать клавишу СЕТЬ.

5. Нажать клавишу ПУСК и намотать нить на малый шкив, вращая маятник против часовой стрелки. При этом рукой держаться только за ось, а не за стержень. Груз поднимать до такой высоты, чтобы нижняя грань груза была на одном уровне с риской на верхнем кронштейне (тело груза не должно перекрывать окошко фотодатчика).

6. Отжать клавишу ПУСК и убедиться, что электромагнит удерживает груз в фиксированном положении, а на секундомере – нули.

7. Нажать клавишу ПУСК. Электромагнит отключится, и груз станет опускаться вниз, вращая маятник. При достижении грузом нижнего фотодатчика происходит автоматическая остановка секундомера и включается электромагнит.

8. После записи времени опускания в табл. 5.1 немедлен- но нажать клавишу СБРОС. При этом отключается электромагнит и обнуляется секундомер. Установка готова к повторению опыта.

9. Измерение времени для каждого груза проводят три раза и вычисляют среднее значение. Опыт проделать не менее чем с пятью грузами. Данные занести в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Номер опыта	d, м	Н, м	m, кг	t,с	tср, с	e,	М, Н·м	I, кг·м^2
… …

 

10. Подставив среднее значение времени, по формулам (5.1) и (5.2 ) находят М и e для каждого груза. Строят график . Это должна быть прямая линия.

11. По тангенсу угла наклона прямой определить среднее значение момента инерции I.

12. Все опыты повторить с большим шкивом, не забывая вращать маятник против часовой стрелки только за ось, а не за стержни. Заполнить аналогичную таблицу для второго шкива.

13. Построить второй график и определить I₂. 14. Вычислить среднее арифметическое значение момента инерции нагруженного маятника:

.

15. По формуле (5.3) находят момент инерции ненагруженного

маятника I ₀:

16. По указанию преподавателя рассчитать погрешности, пользуясь методом наименьших квадратов (для этого можно использовать стандартную прикладную программу для ЭВМ в дисплейном классе).

 

Контрольные вопросы

1. Утверждение и доказательство теоремы Штейнера.

2. Что есть момент силы относительно неподвижной точки заданной оси?

3. Какая связь между линейным и угловым ускорениями точки тела?

4. Обосновать уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

5. Определить моменты инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его главных центральных осей. Масса цилиндра М.