Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства

Вверх

 

В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций (рис., 1.10.).

Рис. 1.10.

Сохраняя неподвижной фронтальную плоскость проекций П₂, горизонтальную плоскость П₁ поворачивают вокруг оси Ох вниз на 90^о, а профильную – вокруг оси Оz вправо на 90^о до их совмещения с фронтальной плоскостью проекций. Направление изображения показано на рис. 1.6.. стрелками. Полученное изображение трех плоскостей проекций вместе с изображенными на них проекциями А₁, А₂, А₃ точки А называют комплексным чертежом точки А. на комплексном чертеже ось Оу раздваивается и кроме вертикального положения Оу₁ (вниз от точки О) занимает и второе – горизонтальное положение Оу₃ (вправо от точки О).

Прямую, соединяющую две проекции точки на комплексном чертеже, называют линией связи.

Из анализа рис. 1.7.. вытекают следующие основные положения:

а) горизонтальная А₁ и фронтальная А₂ проекции точки всегда расположены на вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох;

б) Фронтальная А₂ и профильная А₃ проекции точки всегда расположены на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций О_Z;

в) горизонтальная А₁ и профильная А₃ проекции точки всегда расположены на линиях связи, пересекающихся на биссектрисе угла у₁Оу₃. Эта биссектриса получила наименование постоянной прямой чертежа (линия К), а линия связи А₁А₀А₃ – ломаной или горизонтально- вертикальной линии связи.

В начертательной геометрии часто приходится решать задачи на построение третьей проекции фигуры по двум данным. Для этого прежде нужно научиться строить третью проекцию точки, если известны две ее проекции. Выполнить это можно тремя способами.

Проекционный способ (рис 1.7.).Из фронтальной проекции А₂ проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А₁ опускают перпендикуляр на ось Оу₁, получают точку Ау₁, и при помощи циркуля или прямоугольного равнобедренного треугольника находят на оси Оу₃ положение точки Ау₃. из этой точки проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией связи, проведенной из А₂. Точка А₃ – профильная проекция точки А.

Координатный способ. Из фронтальной проекции А₂ проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние оп проекции А₁ до оси Ох (глубину точки, или координату у_А) и откладывают этот отрезок на линии связи вправо от точки А_Z. Получают профильную проекцию А₃.

Способ с использованием постоянной прямой чертежа. Из фронтальной проекции А₂ проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А₁ проводят линию связи до пересечения в точке А₀ с постоянной прямой К, т.е. биссектрисой угла у₁Оу₃. из точки А₀ проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией, проведенной из фронтальной проекции А₂.

Предпочтительней второй и третий способы, требующие меньшего числа построений и позволяющие использовать чертежные приборы.

 

В пространстве может быть взято множество точек, занимающих по отношению к плоскостям проекции различное положение. Например, пирамида и срезанный параллелепипед имеют 13 вершин- точек, различно расположенных относительно плоскостям П₁, П₂, П₃. Чтобы определить положение каждой из этих точек в отдельности, нужно знать три ее измерения- широту, высоту, глубину.

Рис. 1.11.

Z – высота точки (рис. 1.11.) определяется ее расположением от горизонтальной плоскости проекций или удалением ее фронтальной проекции А₂ от отчки Ох (АА₁ = А₂А_х).

У – глубину точки измеряют ее расстоянием от фронтальной плоскости проекций или удалением ее горизонтальной проекции А₁ от оси Ох (АА₂ = А₁А_х).

Х – широтой точки является ее удаление от профильной плоскости проекций или расстояние от точки А_Х до начала осей проекции О (АА₃ = А_ХО). Все эти утверждения вытекают из рассмотрения треугольников АА₁А_ХА₂ и АА₁А_УА₃.

Если принять плоскость и оси проекции за координатные плоскости и оси координат х у, z, то положение любой точки пространства может быть задано тремя ее координатами. В этом случае отрезок АА₃ = А_ХО выражает координату х, т.е. расстояние от точки до плоскости П₃, отрезок АА₂ = А₁А_Х – координату у, т.е. расстояние от точки до плоскости П₂, и отрезок АА₁ = А₂А_Х – координату z, т.е. расстояние от точки до плоскости П₁. Запись типа А (10, 16, 8) означает, что координата х точки А равна 10мм, координата у=16 мм, координата z= 8 мм.

 

Рассмотрим на примере построение проекций точки по ее координатам (измерениям). Задана точки А (25, 15, 20), т.е. х = 25мм, у = 15мм, z = 20мм. Нужно построить комплексный чертеж точки в системе трех плоскостей проекции.

Рис. 1.12.

Проводят оси Ох, Оу, Оz (рис. 1.12.). По оси Ох влево от точки О откладывают координату х = 25мм и через полученную точку А_х проводят вертикальную линию связи. На этой линии вниз от А_х откладывают значение координаты у = 15мм и получают горизонтальную проекцию А₁ точки А. на этой же линии вверх от А_х откладывают значение координаты z = 20мм и получают фронтальную проекцию А₂ точки А. Найденные проекции А₁ и А₂ определяют положение точки. Если нужно построить третью, профильную, проекцию, из проекции А₂ проводят горизонтальную линию связи и откладывают вправо от точки А_z отрезок, равный значению координаты у (А_яА₃ = 15мм). А₃ – профильная проекция точки А.

На рисунке 1.13. построены комплексные чертежи точек В (20,0,5) и С (15,0,0).

Рис. 1.13.