Номер студенческого билета (или зачетной книжки).

Название дисциплины и номер контрольной работы.

Номер варианта.

 

Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки). В каждом задании 20 вариантов примеров. Если год Вашего поступления в Университет – чётный, то Вы выбираете пример из первых десяти вариантов, а если – нечётный, то выбираете свой вариант из номеров с одиннадцатого по двадцатый.

Например, год поступления 2013, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.

Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.

 

Контрольная работа № 3.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

[1]. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1 - М.: Наука, 2002, 2005.

Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла

Литература. [1], гл. Х, §1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58, 60, 66.

 

Основные методы интегрирования

Литература. [1], гл. Х, §4, упр. 27, 28, 33, 37, 47, 51, 65, 72, 83, 89, 91, 94, 100, 101; §6, упр. 127-131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.

 

Пример 1. .

Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Сравним наш интеграл стабличным

У нас , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной замене переменной:

если , то .

В интеграле , т.е. а = 2, следовательно

 

.

Проверим полученный результат дифференцированием

Интеграл взят правильно.

 

Пример 3. , т.е. .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

 

, где t = g (x)

 

У нас . Тогда

Пример 4. , т.е. .

Решение. Так как , то то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала», . Тогда . Домножим в числителе на 3, при этом надо и знаменатель умножить на 3.

.

 

Проверим дифференцированием

.

Пример 5. Найти .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала» argtgx = t, тогда dt = d(arctg(x)) = и e^{arctg x} = e^t

Подставляя в исходный интеграл, имеем = e^{arctg x} + C.

Пример 6. Найти .

Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin³x dx = sin²x sinx dx. Поэтому

Пример 7. Найти .

Решение. Используем метод интегрирования по частям

 

 

Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

 

= - x cosx + = - x cosx + sinx + C.

Пример 8. Найти .

Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

 

 

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать

 

 

Следовательно

 

 

 

Определенный интеграл

Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Литература. [1], гл.XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

 

Пример. Вычислить .

Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то

 

Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [1], гл.XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий

 

Рис.1.

Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S₁) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S₂). Таким образом

S = S₁ – S₂

Площадь S₂ может быть вычислена с применением определенного интеграла

ед ².

Площадь S₁ можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S₁ как интеграл

 

.

 

Теперь можно вычислить и искомую площадь

 

S = S₁ – S₂ = 12 – 5 ln5

 

Ответ: S =12 – 5 ln5 ед ².

Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .

 

 

Рис. 2.

 

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, .

.

Ответ: .

 

Т е м а 3. Функции нескольких переменных

Основные понятия.

Литература. [1], гл.VШ, § 1 - 4.

 

Частные производные.

Литература. [1], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1-10.

Пример.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, что

3. Проверить, что

Решение.

1.Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение, следовательно

или .

Сделаем чертеж

 

 

Рис. 3.

 

2. При вычислении частной производной по рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

3. При вычислении второй производной по также рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,