Поверхности уровня и линии уровня в скалярном поле. Производная по направлению и градиент

Литература. [1], гл. VIII, § 13, 14, 15, упр. 40-43.

 

Пример. Для функции в точке А (1;2) найти

1) ;

2) производную по направлению .

Решение. Градиент и производная по направлению находятся по формулам:

,

где - единичный вектор направления

Координаты единичного вектора

Значения частных производных по и по находим, рассматривая функцию двух аргументов как функцию, зависящую только от того аргумента, по которому производится дифференцирование

,

.

В точке А (1;2) частные производные принимают значения и, следовательно,

 

Ответ:

Формула Тейлора функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных.

Литература. [1], гл. VIII, § 16, 17, 19. упр. 47-49.

При исследовании функции двух переменных на экстремум обратите внимание на следующее:

1. Точки экстремума всегда лежат внутри области определения, а на границе могут находиться только наибольшие и наименьшие значения (см. функцию одной переменной)

2. Экстремум может достигаться в тех точках области определения, где и или равны 0 или не существуют.

Пример 1. ,

, .

 

График функции z – верхняя половинка конуса. В точке (0;0) производные по x и y не существуют, но

Рис. 4.

 

Схема исследования на нахождение наибольших и наименьших значений

1. Найти внутренние точки области, где может быть экстремум.

2. Исследовать границы области и найти там точки, где может достигаться наибольшее и наименьшее значения.

3. Вычислить значение функции во всех найденных в п.1 и 2 точках. Среди них выбрать наибольшее и наименьшее.

Покажем, как это делается.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осью О y, прямой y =2 и параболой при .

 

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю. Решив систему уравнений

 

 

найдем две точки О (0; 0) и М (1; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.

На отрезке ОА имеем , поэтому на этом отрезке

 

 

есть возрастающая функция от одной переменной ; наибольшее и наименьшее значение она принимает на концах отрезка ОА. На отрезке АВ имеем , поэтому на этом отрезке функция

 

 

представляет собой функцию одной переменной ; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка.

Находим производную: Решаем уравнение или и находим Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q . Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках А, Q и В.

На дуге ОВ параболы имеем

.

Решаем уравнение или и находим его корни: и . Таким образом, из всех значений функции на дуге ОВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках О, Р и В.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, А, Q, В, Р, М, т.е. среди значений:

Q

Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области:

 

 

Контрольная работа № 3. Задания.

 

1. Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б) проверить результаты дифференцированием.

 

№	а	б	в	г
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20

 

 

2. Геометрические приложения определенного интеграла

2.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью ОХ и прямыми .

2.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

2.11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами и

2.12. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом .

2.13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми .

2.14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболой и кубической параболой

2.15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболами и .

2.16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболами и .

2.17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами и

2.18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом .

2.19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми .

2.20. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболой и кубической параболой

3. Дана функция двух переменных

1. Найти область определения функции двух переменных Изобразить ее на координатной плоскости XOY и заштриховать.

2. Найти градиент функции в точке А.

3. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному дифференциальному уравнению первого порядка.

 

 

№
3.1	А(1,2)
3.2	. А(1,3)	,
3.3	, А(0,5;0,5)	,
3.4	, А(2,2)	,
3.5	А(1,1)	,
3.6	А(4,4)	,
3.7	А(1,4)
3.8	А(1,3)	,
3.9	А(2,3)	,
3.10.	А(2,2)	,
3.11	А(2,4)	,
3.12	А(2,2)	,
3.13	1.13. 1. . А(3,2)	,
3.14	А(1,3)	,
3.15	А(2,2)	,
3.16	А(5,2)	,
3.17	А(1,4)	,
3.18	А(2,2)	,
3.19	А(1,1)	,
3.20	А(2,3)	,

 

 

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

 

№	Функция	Область
4.1.	;
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.		.
4.13.		.
4.14.		.
4.15.		.
4.16.		.
4.17.		.
4.18.		.
4.19.		.
4.20.		.

 

Контрольная работа № 4

ЛИТЕРАТУРА

 

[2]. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Наука, 2006.