Если в работе есть ошибки, то их нужно исправить в этой же тетради и прислать на повторную проверку.

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания № 3, 4

для студентов-заочников направление подготовки:

151000.62 - «Технологические машины и оборудование»

 

 

Составители Г. П. Мещерякова Е.В.Наумова

 

 

Санкт-Петербург

 

 

	РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры 25.12.2012 г., протокол №
	Рецензент
	Н. Р. Туркина

 

 

Подписано в печать 00.00.00. Формат 60 84 1/16.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,1. Тираж 200 экз. Заказ

 

Отпечатано в типографии СПГУТД

191028, Санкт–Петербург, ул. Моховая, 26

 

 

В течение семестра Вы должны выполнить и сдать на проверку две контрольные работы, которые включает темы, приведенные ниже в таблице. Контрольные должны быть представлены на проверку не позднее, чем за две недели до начала экзаменационной сессии и должны быть выполнены в отдельной тетради с соблюдением правил, обязательных для выполнения всех предыдущих работ по математике. Если все задания выполнены без ошибок, то студент допускается к защите этих работ, которая происходит во время экзаменационной сессии перед экзаменом по математике.

Если в работе есть ошибки, то их нужно исправить в этой же тетради и прислать на повторную проверку.

Прежде чем приступать к выполнению контрольных работ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал по указанным учебникам. По каждой теме дается список вопросов, на которые необходимо ответить при подготовке к экзамену.

Если в процессе изучения теорем или при решении задач возникают вопросы, то можно обратиться к преподавателям кафедры математики для получения письменной или устной консультации.

Во время экзаменационной сессии для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия, которые носят обзорный характер.

При выполнении контрольной работы обратите внимание на оформление работы. на титульном листе должны быть указаны:

 

Фамилия, имя, отчество.

Номер студенческого билета (или зачетной книжки).

Название дисциплины и номер контрольной работы.

Номер варианта.

 

Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки). В каждом задании 20 вариантов примеров. Если год Вашего поступления в Университет – чётный, то Вы выбираете пример из первых десяти вариантов, а если – нечётный, то выбираете свой вариант из номеров с одиннадцатого по двадцатый.

Например, год поступления 2013, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.

Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.

 

Контрольная работа № 3.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

[1]. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1 - М.: Наука, 2002, 2005.

Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла

Литература. [1], гл. Х, §1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58, 60, 66.

 

Определенный интеграл

Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Литература. [1], гл.XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

 

Пример. Вычислить .

Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то

 

Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [1], гл.XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий

 

Рис.1.

Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S₁) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S₂). Таким образом

S = S₁ – S₂

Площадь S₂ может быть вычислена с применением определенного интеграла

ед ².

Площадь S₁ можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S₁ как интеграл

 

.

 

Теперь можно вычислить и искомую площадь

 

S = S₁ – S₂ = 12 – 5 ln5

 

Ответ: S =12 – 5 ln5 ед ².

Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .

 

 

Рис. 2.

 

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, .

.

Ответ: .

 

Т е м а 3. Функции нескольких переменных

Основные понятия.

Литература. [1], гл.VШ, § 1 - 4.

 

Частные производные.

Литература. [1], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1-10.

Пример.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, что

3. Проверить, что

Решение.

1.Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение, следовательно

или .

Сделаем чертеж

 

 

Рис. 3.

 

2. При вычислении частной производной по рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

3. При вычислении второй производной по также рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

 

Контрольная работа № 3. Задания.

 

1. Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б) проверить результаты дифференцированием.

 

№	а	б	в	г
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20

 

 

2. Геометрические приложения определенного интеграла

2.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

2.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью ОХ и прямыми .

2.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

2.11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами и

2.12. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом .

2.13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми .

2.14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболой и кубической параболой

2.15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболами и .

2.16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболами и .

2.17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами и

2.18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом .

2.19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми .

2.20. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной параболой и кубической параболой

3. Дана функция двух переменных

1. Найти область определения функции двух переменных Изобразить ее на координатной плоскости XOY и заштриховать.

2. Найти градиент функции в точке А.

3. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному дифференциальному уравнению первого порядка.

 

 

№
3.1	А(1,2)
3.2	. А(1,3)	,
3.3	, А(0,5;0,5)	,
3.4	, А(2,2)	,
3.5	А(1,1)	,
3.6	А(4,4)	,
3.7	А(1,4)
3.8	А(1,3)	,
3.9	А(2,3)	,
3.10.	А(2,2)	,
3.11	А(2,4)	,
3.12	А(2,2)	,
3.13	1.13. 1. . А(3,2)	,
3.14	А(1,3)	,
3.15	А(2,2)	,
3.16	А(5,2)	,
3.17	А(1,4)	,
3.18	А(2,2)	,
3.19	А(1,1)	,
3.20	А(2,3)	,

 

 

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

 

№	Функция	Область
4.1.	;
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.		.
4.13.		.
4.14.		.
4.15.		.
4.16.		.
4.17.		.
4.18.		.
4.19.		.
4.20.		.

 

Контрольная работа № 4

ЛИТЕРАТУРА

 

[2]. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Наука, 2006.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

[2, гл. XIII, § 2, 3, упр. 1-8].

 

Контрольная работа № 4. Задания.

 

1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

 

1. 1	1.11.
1.2.	1.12.
1.3.	1.13.
1.4.	1.14.
1.5.	1.15.
1.6.	1.16.
1.7.	1.17.
1.8.	1.18.
1.9.	1.19.
1.10.	1.20.

 

2. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

 

2.1. при

2.2. при

2.3. при

2.4. при

2.5. при

2.6. при

2.7. при

2.8. при

2.9. при

2.10. при

211.

2.12.

2.13.

2.14. при

2.15. при

2.16. при

2.17. при

2.18. при

2.19. при

2.20. при

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания № 3, 4

для студентов-заочников направление подготовки:

151000.62 - «Технологические машины и оборудование»

 

 

Составители Г. П. Мещерякова Е.В.Наумова

 

 

Санкт-Петербург

 

 

	РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры 25.12.2012 г., протокол №
	Рецензент
	Н. Р. Туркина

 

 

Подписано в печать 00.00.00. Формат 60 84 1/16.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,1. Тираж 200 экз. Заказ

 

Отпечатано в типографии СПГУТД

191028, Санкт–Петербург, ул. Моховая, 26

 

 

В течение семестра Вы должны выполнить и сдать на проверку две контрольные работы, которые включает темы, приведенные ниже в таблице. Контрольные должны быть представлены на проверку не позднее, чем за две недели до начала экзаменационной сессии и должны быть выполнены в отдельной тетради с соблюдением правил, обязательных для выполнения всех предыдущих работ по математике. Если все задания выполнены без ошибок, то студент допускается к защите этих работ, которая происходит во время экзаменационной сессии перед экзаменом по математике.

Если в работе есть ошибки, то их нужно исправить в этой же тетради и прислать на повторную проверку.

Прежде чем приступать к выполнению контрольных работ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал по указанным учебникам. По каждой теме дается список вопросов, на которые необходимо ответить при подготовке к экзамену.

Если в процессе изучения теорем или при решении задач возникают вопросы, то можно обратиться к преподавателям кафедры математики для получения письменной или устной консультации.

Во время экзаменационной сессии для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия, которые носят обзорный характер.

При выполнении контрольной работы обратите внимание на оформление работы. на титульном листе должны быть указаны:

 

Фамилия, имя, отчество.