Мода – значение признака, наиболее часто встречающее в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

где – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

где – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

– сумма частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

 

Тест

Выберите правильный ответ.

1. Средняя величина – это:

а) значение признака, находящееся в середине ряда распределения;

б) обобщенная типическая характеристика признака в данной совокупности;

в) значение признака, встречающееся чаще других.

2. Для расчета средней величины по несгруппированным данным в случае возможности их прямого суммирования следует применять формулу:

а) арифметической простой;

б) арифметической взвешенной;

в) гармонической простой;

г) гармонической взвешенной.

3. Для расчета общей средней по сгруппированным данным следует применить формулу средней:

а) арифметической простой;

б) арифметической взвешенной;

в) гармонической простой;

г) гармонической взвешенной.

4. Для определения общей средней из коэффициентов выполнения плана по показателю по нескольким предприятиям следует применить формулу средней:

а) арифметической простой;

б) арифметической взвешенной;

в) гармонической простой;

г) гармонической взвешенной.

5. Возможна ли многовариантность значений среднего показателя, рассчитанного по одним и тем же данным?

а) да;

б) нет.

6. По какой формуле можно рассчитать среднюю арифметическую величину, если повторяемость каждого варианта признака равная? а) средней арифметической простой;б) средней арифметической взвешенной;в) по обеим формулам. 7. Какую формулу средней следует использовать для определения процента выполнения плана по объединению (из двух предприятий), если первое предприятие выпустило продукции на сумму 800 тыс.рублей и выполнило план на 95 %, а второе произвело продукции на 900 тыс. рублей и выполнило план на 102 %? а) простую среднюю арифметическую;б) взвешенную среднюю арифметическую;в) взвешенную среднюю гармоническую.

8. Для измерения вариации значения признака применяются следующие статистические показатели:

а) средние величины;

б) мода и медиана;

в) размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия,

г) среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

9. Если все значения признака увеличить (уменьшить) на некоторую постоянную величину, то средняя арифметическая:

а) не изменится;

б) увеличится (уменьшится) на эту величину;

в) уменьшится (увеличится на эту величину.

10. Если все значения признака умножить (разделить) на некоторую постоянную величину, то средняя арифметическая:

а) не изменится;

б) увеличится (уменьшится) во столько раз;

в) уменьшится (увеличится) во столько раз.

Задачи

Примеры решения задач

Пример 1. По данным таблицы 4.1 рассчитаем среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям.

 

Таблица 4.1 – Заработная плата на предприятиях АО в 2011 г.

Предприятие	Численность промышленно-производственного персонала, чел.	Средняя заработная плата, тыс. руб.
		12,5
		13,0
		13,1
Итого:		?

Определим исходное соотношение средней для показателя «Средняя заработная плата»:

Нам известен знаменатель исходного соотношения, но не известен числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

тыс. руб.

Допустим, что нам известны только данные о фонде заработной платы и средней заработной плате персонала (табл. 4.2), т.е. известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель.

 

Таблица 4.2 – Месячный фонд заработной платы и средняя заработная плата на предприятиях АО в 2011 г.

Предприятие	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, тыс. руб.
	6750,0	12,5
	3575,0	13,0
	5999,8	13,1
Итого	16324,8	?

Численность работников по каждому предприятию можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда для расчета средней заработной платы мы будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:

руб.

 

Пример 2. По данным таблицы 4.3 определим величину среднедушевого дохода по городу.

 

Таблица 4.3 – Распределение населения города в 1-м квартале 2009 г. по уровню среднедушевых денежных доходов

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, руб.	Численность населения, % к итогу
До 5000	10,5
5000–5500	16,7
5500–6000	30,2
6000–6500	24,4
6500–7000	6,5
7000–8500	6,7
Свыше 8500	5,0
Итого

.

Так как мы имеем интервальный ряд, то определяем середины интервалов. При этом величину первого интервала условно приравниваем к величине второго, а величину последнего интервала приравниваем к величине предпоследнего. В результате получаем следующие середины интервалов:

 

 

Роль численности населения выполняет его доля в общем итоге, выраженная в процентах. Для расчета воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

руб.

Пример 3. Рассчитаем моду и медиану по данным таблицы 4.4.

 

Таблица 4.4 – Распределение семей города по размеру

среднедушевого дохода в январе 2011 г.

Группы семей по размеру дохода, тыс. руб.	Число семей	Накопленные частоты
До 5
5 – 8
8 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 50
Свыше 50
Итого:

 

тыс. руб.

Следовательно, наибольшее число семей в январе 2011 г. имели среднедушевой доход 13,6 тыс. рублей.

тыс. руб.

Таким образом, половина семей города имели в январе 2011 г. среднедушевой доход менее 14 тыс. руб., остальные семьи – более 14 тыс. руб.

Задачи

1. Рабочие бригады имеют следующий стаж работы на данном предприятии (табл. 4.5).

Таблица 4.5 – Стаж рабочих бригады ЗАО «Промметалл»

Табельный номер рабочего
Стаж работы, лет

Определите средний стаж работы.

 

2. Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду имеет следующий вид (табл. 4.6).

Таблица 4.6 – Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду

Тарифный разряд
Число рабочих, чел.

Определите средний уровень квалификации рабочих предприятия.

 

3. Результаты торгов на российских биржах 1 июля 2010 г. характеризуются следующими данными (табл. 4.7).

 

Таблица 4.7 – Результаты торгов на российских биржах за 1.07.10 г.

Биржа	Курс доллара США, руб.	Объем продаж, млн. руб.
Московская	30,70	8,79
Санкт–Петербургская	30,68	7,84
Самарская	30,66	1,88
Уральская	30,29	6,21
Азиатско-Тихоокеанская	30,00	2,79
Ростовская	30,37	0,55
Нижегородская	30,25	0,03
Сибирская	30,08	2,48

 

Рассчитайте средний курс доллара.

 

4. По данным микропереписи 2011 г. получено следующее распределение населения, проживающего в месте постоянного жительства не с рождения (табл. 4.8).

 

Таблица 4.8 – Распределение населения, проживающего в месте постоянного жительства, на 1.01.11 г.

Продолжительность проживания в месте постоянного жительства, лет	Доля населения, %
Менее 2	7,5
3–5	11,0
6–9	10,5
10–14	12,3
15–24	21,1
25 и более	37,6
Итого	100,0

 

Определите среднюю продолжительность проживания в месте постоянного жительства для данной категории населения.

 

5. Имеются следующие данные по промышленным предприятиям области (табл. 4.9).

 

Таблица 4.9 – Распределение промышленных предприятий области по себестоимости 1 кг гвоздей на 1.06.09 г.

Группы промышленных предприятий по себестоимости 1 кг гвоздей, руб.	Число предприятий	Выпуск гвоздей в среднем на 1 предприятие, т
До 9,2
9,2–9,4
9,4–9,6
9,6 и более

 

Определите среднюю себестоимость 1 кг гвоздей по предприятиям области.

 

6. Производственная деятельность одного из отделений корпорации за месяц характеризуется следующими данными (табл 4.10).

 

Таблица 4.10 – Производственная деятельность промышленного отделения корпорации за январь 2008 г.

Предприятие	Общие затраты на производство, тыс. руб.	Затраты на 1 руб. произведенной продукции, руб.
	2623,4	0,85
	8815,9	0,71
	4720,6	0,63
	3125,3	0,88

 

Определите средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по отделению.

 

7. По трем районам города имеются следующие данные (на конец года) (табл. 4.11).

 

Таблица 4.11 – Характеристика районов города по вкладам

в отделения Сбербанка на 1.01.10 г.

Район	Число отделений Сбербанка	Среднее число вкладов в отделение	Средний размер вклада, тыс. руб.

 

Определите средний размер вклада в Сбербанке в целом по городу.

 

8. Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными (за месяц) (табл. 4.12).

 

Таблица 4.12 – Характеристика качества продукции предприятия за сентябрь 2010 г.

Вид продукции	Процент брака	Стоимость бракованной продукции, руб.
А	1,3
В	0,9
С	2,4

 

Определите средний процент брака в целом по предприятию.

 

9. В отделе заказов торговой фирмы занято трое работников, имеющих 8-часовой рабочий день. Первый работник на оформление одного заказа в среднем затрачивает 14 мин., второй – 15, третий – 19 мин. Определите средние затраты времени на один заказ в целом по отделу.

 

10. Использование складских помещений города характеризуется следующими данными (табл. 4.13).

 

Таблица 4.13 – Распределение складских помещений города по площади

Группы складских помещений по площади, тыс. м²	Число помещений	Общая занятая площадь, тыс. м²
До 5		5,2
5–10		108,0
10–15		163,6
15–20		101,2
20–25		65,3
25–30		40,6
30–35		55,4
35 и более		29,0

 

Вычислите средний процент загрузки.

 

11. По данным таблицы 4.14 определите средний процент содержания никеля, модальный и медианный интервалы.

 

Таблица 4.14 – Содержание никеля по результатам анализа плавки

легированной стали

Содержание никеля, %	Количество плавок
До 4,0
4,0–4,2
4,2–4,4
4,4 и более
Всего:

 

12. При изучении качества семян пшеницы было получено следующее распределение семян по проценту всхожести (табл. 4.15).

 

Таблица 4.15 – Распределение семян по проценту всхожести

в 2010 г.

Процент всхожести	Число проб, % к итогу
Свыше 95
Итого:

Рассчитайте моду и медиану.

 

13. Вычислите моду и медиану количественного состава семей города на основании следующего их распределения по числу совместно проживающих членов семей (табл. 4.16).

 

Таблица 4.16 – Распределение семей города по числу

совместно проживающих членов семьи на 1.12.12 г.

Число членов семьи	Число семей, % к итогу
Итого:

 

14. С целью исследования качества деталей на предприятии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в таблице 4.17.

 

Таблица 4.17 – Распределений деталей на предприятии по весу на 1.07.10 г.

Группы деталей по весу, г	Число деталей, шт.
40–50
50–60
60–70
70–80
80–90
90–100
100–110
110–120
Итого:

Вычислите моду и медиану значения веса деталей.

 

 

РАЗДЕЛ 2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА