Построение четвертой пропорциональной

 

На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:

а: b = с: х.

Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что

а: b = с: х.

 

Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».

а: b = с: х.

 

Повторительные вопросы

Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?

Применения

79. Прямоугольник со сторонами а и h (черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.

Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х, чтобы bх = ax

Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.

Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.

80. Начертить прямоугольник с высотою b, равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h.

 

Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x, чтобы bх = bx = ah/2., т. е.,

чтобы x: a/2 = h: b

Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b

 

81. Средняя линия трапеции p, высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.

Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx = pq, и следовательно х: р = д: b. Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b.

 

Поперечный масштаб»

 

На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL = АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLB составляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ. А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ, то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ.

 

Отсюда ясна возможность помощью поперечного масштаба получать весьма малые доли масштабной единицы АВ. Если необходимо, например, раздвинуть ножки циркуля на 2,73 АВ, то помещают одну ножку циркуля на пересечении 2-й поперечной линии масштаба и 3-й (снизу) продольной; другую же – на пересечении той же 3-й продольной линии и 7-й косой: тогда острия циркуля окажутся раздвинутыми на 2,73 АВ. Чтобы раздвинуть их на 36.8 АВ, надо одно острие поместить на пересечении 3-й поперечной и 8-й продольной линии, а другое – на пересечении 8-й продольной и 6-й косой, и т. д.

 

На черт. 203 изображен поперечный масштаб, дающий возможность откладывать отрезки с точностью до 0,1 миллиметра.

 

Пантограф

 

На подобии фигур основано также устройство и употребление прибора, называемого п а н т о г р а ф о м и служащего для перерисовывания фигур в измененном масштабе. Он состоит (черт. 204) из четырех планок АВ, BC, CD и AD, соединенных в форме параллелограмма так, что планки могут свободно вращаться в углах; поперечная планка ЕF располагается параллельно AD и может быть перемещаема по желанию. При употреблении прибора его укрепляют неподвижно в А и обводят перерисовываемый контур штифтом K; тогда карандаш С вычерчивает тот же контур в увеличенном виде; все размеры получаются в столько раз крупнее, во сколько раз АС больше АК (или АВ больше АЕ). Если, например, штифт А (черт. 204) переместился в N, т. е. прошел черту KN, то карандаш С переместился в М, т. е. начертил линию СМ; из подобия треугольников АСМ и AKN (почему они подобны?) имеем, что СМ: KN – АС: АК, или АВ: АЕ. Отсюда следует, что желая увеличить рисунок, например, в 5 раз, мы должны поместить планку EF так, чтобы АВ было в 5 раз больше АЕ.

 

Нетрудно догадаться, как следует пользоваться пантографом для перерисовывания фигур и в у м е н ь ш е н н о м масштабе.