X. Дополнительные сведения об окружностях

 

Разыскание центра. Хорды

 

На практике нередко возникает надобность разыскать центр данной окружности или дуги. Покажем, как это делается.

 

Пусть требуется разыскать центр дуги, изображенной на чертеже 167. Возьмем на ней две произвольные точки, – напр. А и В (черт. 168). Центр круга должен быть, конечно, одинаково удален от каждой из них. А мы знаем, что все точки, одинаково удаленные от двух данных точек, расположены на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, соединяющего эти две точки (§ 55). Проведя этот перпендикуляр, получаем прямую MN (черт. 169), на которой и должен находиться искомый центр дуги. Чтобы узнать, какая именно, из точек этой прямой есть центр дуги, мы избираем на той же дуге другую пару точек, – например, С и Р (черт. 170) и, прилагая к ним те же рассуждения, проводим перпендикуляр LК к середине соединяющей их прямой. Точка О пересечения обоих перпендикуляров и есть искомый центр дуги.

Прямая, соединяющая две точки окружности (или дуги), называется хордой. Поэтому сейчас установленное свойство можно высказать так:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й ч ер е з с е р е д и н у х о р д ы, п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р о к р у ж н о с т и.

Справедливо и обратное утверждение, а именно:

п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й к х о р д е ч е р е з ц е н т р к р у г а, п р о х о д и т ч е р е з с е р е д и н у х о р д ы.

Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.

Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ ОA и ОВ ] имеют не равные проекции [ АС и ВС ], – а этого, мы знаем, быть не может (§ 54).

 

Повторительные вопросы

Что называется хордой? – Как называется хорда, проходящая через центр круга? – Как разыскать центр данной дуги, пользуясь хордами? – На каком свойстве хорд основан этот способ? – На какие части делит хорду перпендикуляр к ней, проведенный через центр?

Применения

69. Как убедиться, что хорда не может быть больше диаметра того же круга?

Р е ш е н и е. Хорда CD (черт. 172) короче суммы радиусов СО + ОD (сторона треугольника всегда меньше суммы двух других); следовательно, она меньше и диаметра АOD так как OC = OD= AO = OB.

70. Чему равна хорда, составляющая с диаметром угол в 60°?

Р е ш е н и е. Соединив конец C хорды (черт. 173) с концом A диаметра, получим прямоугольный треугольник, так как угол C – прямой. Угол A = 30°, и, значит, BC = половине диаметра AB = радиусу (§ 52).

 

Касательные ц их построение

 

Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF – касательные к окружности АСЕ. Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB (черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С, то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).

 

С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.

Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ, чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В, как центра, описывают окружность радиусом ВО. Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и D обеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.

 

Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и D вспомогательные прямые ОС и ОD. Углы ОСА и ODA – прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD – касательные к окружности.

Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC = AD. Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OAD равны (СУС).

 

Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС, укрепленных под углом, и третьей линейки BD, край которой BD делит пополам угол между краями

первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.

Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD, до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G. Прямые, соединяющие Е с F, G с H, будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH.

Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.

 

Повторительные вопросы

Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?

Применения

71. Два прямых участка дороги соединены дугою так, что прямые участки имеют направление касательных к этой дуге (черт. 182). Угол между прямыми участками – 155°. Найти длину дуги, если радиус ее = 270 метров.

 

Р е ш е н и е. Из черт. 182 видим, что в четырехугольнике ОВЕС уг. Е – 155°, уг. ОBE – прямой, уг. ОСЕ – прямой. Так как сумма внутренних углов четырехугольника = 180° [4 – 2] – 360°, то угол О = 360° – [155° + 90° + 90°] – 25°. Длина полной окружности радиуса 270 м – 2? 3,14? 270 = 1700 м, а длина дуги в 25°= 1700? 25/360 = 120 м. Искомая длина дуги – 120 метров.

 

Площадь частей круга

 

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними, называется круговым сектором (черт. 183). Вычислять площадь сектора легко, если знать, какую часть полной окружности составляет его дуга: такую же долю площади полного круга составляет площадь сектора. Если, например, дуга сектора содержит 60°, т. е. составляет 1/6 окружности, то площадь сектора в 6 раз меньше площади круга.

 

Если же число градусов в дуге сектора не известно, но известна длина этой дуги в линейных мерах, то площадь сектора вычисляется иначе. Рассуждая как в § 35, можно установить, что

п л о щ а д ь с е к т о р а р а в н а д л и н е е г о д у г и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а. Обозначив длину дуги через l, а радиус через R, имеем для площади S сектора формулу:

S =? lR

Другая часть круга, площадь которого приходится вычислять на практике, это та, которая отсекается от круга хордой. Часть круга, ограниченная хордой и дугою круга, называется к р у г о в ы м с е г м е н т о м (черт. 183). Если требуется вычислить площадь сегмента АпВ (черт. 184), то вычитают из площади сектора ОAnВ площадь равнобедренного треугольника АОВ.

 

Применения

Черт. 184 72. Участок луга имеет форму квадрата со стороною 24 м. К угловому колу на веревке в 10 м длиною привязана лошадь. Найти площадь участка, недоступного лошади.

Р е ш е н и е. Площадь всего луга = 242= 580 кв. м. Из нее надо вычесть площадь сектора, угол которого 90°, а радиус – 10 м; она равна четверти площади круга того же радиуса, т. е. 78 кв. м. Значит, искомая площадь = 580 – 78 = 500 кв. м.

73. Найти площадь сектора, обвод которого 1,36 см, а угол 200°.

Р е ш е н и е. Обозначим радиус сектора через х. Длина дуги такого радиуса, содержащая 20°, равна

2? x?20 /360 =?x/9

Обвод этого сектора = х + х +? x/9. Имеем уравнение 2 х +? x/9 = 136, откуда х = 62, и искомая площадь – 780 кв. см.

74. Дуга сегмента содержит 90°. Радиус его– 16 см. Найти его площадь.

Р е ш е н и е. Дуга составляет 3/4 окружности. Площадь соответствующего сектора – 200 кв. см., площадь его треугольной части =?? 16? 16 = 128 кв. см. Значит, искомая площадь = 200–128 = 70 кв. см.

 

 

XI. ПОДОБИЕ ФИГУР

 

Подобие многоугольников

 

Сравнивая между собою фигуры, мы различали до сих пор только два случая: случай равенства фигур и случай их неравенства. Но возможен и третий случай, которого мы еще не рассматривали: фигуры не равны, а п о х о ж и, так что одна представляет уменьшенное п о д о б и е другой. Например, большой и малый квадрат не равны, но имеют совершенно одинаковую форму: один представляет подобие другого (черт. 185). Два равносторонних треугольника, большой и малый, также имеют одинаковую форму (черт. 186).

Такие фигуры, которые имеют различную величину сторон, но одинаковы по форме, называются п о д о б-н ы м и фигурами.

 

В каком же случае считаем мы, что у двух фигур одинаковая форма? Рассмотрим этот вопрос для двух многоугольников. Для одинаковости формы многоугольники должны прежде всего иметь соответственно равные углы. Если углы одного многоугольника не равны углам другого, мы не назовем эти фигуры одинаковыми по форме (см. фигуры черт. 188). Значит, равенство углов одной фигуры углам другой есть необходимое условие для одинаковости их формы, т. е, для п о д о б и я этих фигур. Но д о с т а т о ч н о ли одного этого условия? Всякие ли две фигуры с соответственно равными углами имеют одинаковую форму? Взгляните на прямоугольники черт. 187. Углы прямоугольника I равны углам прямоугольника II, – однако, мы не скажем, что они одинаковой формы. Почему?

 

Потому что высота первого больше высоты второго в 2 раза, а основание первого больше основания второго в 5 раз. Стороны этих фигур, как говорят, не п р о п о р ц и о н а л ь н ы: из них нельзя составить пропорции (отношение двух из них не равно отношению двух других). Форма этих четырехугольников была бы одинакова только тогда, когда из их «сходственных» сторон (т. е. из сторон, прилегающих к равным углам) можно составить пропорцию

a/b – h/l

Короче мы можем высказать это условие подобия многоугольников так:

м н о г о у г о л ь н и к и п о д о б н ы, к о г д а и х с х о д с т в е н н ы е с т о р о н ы п р о п о р ц и о н а л ь н ы (т. е.

о т н о ш е н и е д в у х и з н и х р а в н о о т н о ш е н и ю д в у х д р у г и х). Стороны многоугольников могут быть пропорциональны и не будучи сходственными, т. е. не прилегая к равным углам. Например, на черт. 188 каждая сторона квадрата I вдвое длиннее каждой стороны ромба II; значит, стороны этих фигур пропорциональны. Но все-таки эти фигуры не подобны, потому что пропорциональные стороны их не прилегают к равным углам: они не сходственные.

 

Итак, для подобия, например, многоугольников ABCDE и A1B 1 C 1 D 1 E 1 (черт. 189) необходимо:

чтобы

уг. A = уг. A 1

уг. B = уг. B 1

уг. C = уг. C 1

уг. D = уг. D 1

уг. E = уг. E 1

и, во-вторых, чтобы

 

(А 1– читается «А прим», или «А со знаком»).

 

Подобие треугольников

 

Сейчас мы установили, что для подобия многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны пропорциональны.

Пусть нам известно, что в треугольниках ABC и DEF (черт. 190) угол A = уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABC на DEF и положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC – по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MN ляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону ED на такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EF также на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и N и 3 части – между N и F. Теперь ясно, что

ED/ EM = 5/2 = EF/ EN

Но так как EF = AB, a EN = BC, то

ED/ AB = EF/ BC

Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC – пропорциональны.

Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: AC равнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED (черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF – на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что

DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC

Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.

П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).

Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.

Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что

a/e = b/f = c/g

то угол против стороны a равен углу против стороны е, угол против b = углу против f, и угол против c = углу против g.

 

В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае

a/e=c/x=b/y

Нам известно, что a/e=b/f =c/g. Значит,

b/y=c/x=b/f=c/g

Но если

b/y=b/f

то y = f. А из равенства

c/x=c/g

следует, что x = g.

Другими словами: все стороны треугольника III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам треугольника I. Это и требовалось доказать.

 

Повторительные вопросы к §§ 64 и 65

Как вы назовете фигуры, имеющие равные стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму? Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. – Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком случае стороны называются соответственными?

 

Применения

75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.

Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN (черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N – прямые. Значит, треугольники ABC и MNP подобны и, следовательно,

AB/MN = BC/NP

откуда неизвестная высота дерева

AB = MN? BC/NP

Высоту шеста МN и длину теней DС и NP легко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.

 

76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?

 

Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза G над почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем

AC/DF = DC/GF.

 

Дальнейшее – понятно без объяснений.

77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CD провешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ) озера.

 

Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем

AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE

так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.

78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).

Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем

PE/OE = PC/OC

РЕ – есть искомая длина х тени; DE = OP + РЕ = 150 000 000 км + x; PC – радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем

X/150 000 000 = 1/109

или 109 х = 150 000 000 + x, откуда

x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.