Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Синус и косинус острого углаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Рассмотрим задачу: На плоскости AB (черт. 234), наклоненной под углом 35°, лежит тело весом 20 кг. С какою силою нужно тянуть тело вдоль плоскости AB, чтобы удержать его от скольжения вниз (трения в расчет не принимать)? Р е ш е н и е. Очевидно, нужно тянуть с силою, не меньшею той, с какою тело увлекается своим весом. В механике установлено правило, что тело, лежащее на наклонной плоскости, увлекается вдоль нее с силою, составляющей такую долю веса тела, какую высота ВС наклонной плоскости составляет от ее длины AB. Это отношение зависит только от величины угла A, но не зависит от того, в какой точке наклонной плоскости (черт. 235) мы станем мерить ее высоту и длину: отношение ВС: AB = отношению DE: AD = отношению MN: AM и т. п. (почему?). Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в треугольнике, отсекаемом от острого угла перпендикуляром к одной из его сторон, называется с и н у с о м этого угла и обозначается знаком sin: SinA = BC/AB Каждый угол имеет определенный синус, величина которого всегда может быть вычислена (по способу, излагаемому в подробных учебниках математики) или, менее точно, найдена из чертежа. Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина синуса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и синус его близок к нулю: Sin 0° = 0. С увеличением угла sin его возрастает, но никогда не превышает 1-цы (почему?). При 90° величина его равна 1, потому что при этом катете сливается с гипотенузой; следовательно, sin 90° = 1. Синус некоторых углов вычисляется очень просто. Например, синус 30° (черт. 230) равен Вычисление sin 60 ° проделайте сами. Отношение п р и л е ж а щ е г о к а т е т а к гипотенузе называется к о с и н у с о м угла А и обозначается cos. Напр. (черт. 229 и 230) cos 60° = BC: AC= 0,5; cos 45° = sin 45° = 0,71. Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило). Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.
Таблица синусов и косинусов
Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30, и т. п. Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20? 0,57 = 11 кг. Применения 109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла. Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°. 110. Боковая сторона равнобедренного треугольника - 96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание. Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53. 111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см. Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/ AB = BD/57 = sin 47° откуда BD = 57? 0,68 = 39 см. Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения D/ AB = BD/57 = Sin BAD = Sin [ 180 ° – 125 °] = Sin 55 ° = 0,57, откуда BD = 32 см. 112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).
Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора. Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236. 113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A = 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их. Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°. 114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами). Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ ОА ] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110). 115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см. Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4? Следовательно, задача сводится к предыдущей. 116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника. Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна??24?31? sin 68°
Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.
Повторительные вопросы Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotg этих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tg острого угла и cotg дополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tg которого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tg или cotg. Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sin и cos нескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sin и как изменяется cos при изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 646; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.141.155 (0.007 с.) |