Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Конусность. Тангенс и котангенс острого углаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.
Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03). Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС: АС в прямоугольном треугольнике АВС. Это отношение определяет наклон прямой АВ к LC и, следовательно, может служить мерою угла ВАС. Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС: АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg. Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше). Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg 0° = 0. С увеличением угла tg его быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg 90 ° = бесконечности. Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС: АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем: Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость: Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается. Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим: А так как сумма углов А и В равна 90° (эти углы, как принято говорить, «дополнительные»), то tg А = cotg (90 – A); cotg A = tg (90 – А). Например: tg 30° = cotg 60°; tg 17° = cotg 73° и т. п. Выражая эту зависимость словесно, устанавливаем правило: т а н г е н с о с т р о г о у г л а р а в е н к о т а н г е н с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а. На этом основании таблицу тангенсов и таблицу котангенсов углов можно свести в одну таблицу, устройство которой мы сейчас объясним.
Таблица тангенсов и котангенсов
Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс. Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания). Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg 33°, потому что 33 = 90° – 57°). Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов. Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°. tg38° = 0,78, tg 39° = 0,81 Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что
Откуда: tg 38°40? – 0,78 = 0,03?2/3= 0,02 tg 38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80. Итак, мы отыскали tg ну жного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен. Таким же образом находим: tg 76°24? = 4,01 + 0,32?24/60 = 4,14 cotg [11]21°14? = 2,61 – 0,13?14/60 = 2,58
Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tg или cotg имеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotg которого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию
И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’). Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60?2/3= 40°40’ и т. п. (В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков). Применения Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и). 104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см. Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)
откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’. 105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю? Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52
106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника. Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38 (как найти третий угол?).
107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет. Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1, 11, откуда ВС = 83? 1,11 = 92.
108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см. Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольника АВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°. Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD =?АВ (почему?). Далее: AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26 откуда: AD = 0,26 80 = 21, АВ = 2 AD = 42. Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 814; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.248.140 (0.009 с.) |