Шар. Его объем и поверхность

 

Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.

Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN (черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OS шара, имеем по теореме Пифагора [ OS ]2= [ OP ]2+ [ PS ]2.

Обозначим радиус основания цилиндра через R (он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PS через h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS = OR = R; OP = PK = k (потому что противолежащие углы = 45°); PS = h. Написанное выше представим в виде

R 2= k 2+ h 2.

Умножив все члены равенства на, имеем

R 2= k 2+ h 2.

Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [ R 2] равна площади сечения конуса [ k 2], сложенной с площадью сечения полушара [ h 2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.

Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:

№ 1.....? R 2 H =?k12H +?h12H

№ 2.....? R 2 H =?k22H +?h22H

№ 3.....? R 2 H =?k32H +?h32H

№ 4...............

 

Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса,^[13] т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.

Так как объем цилиндра vц =? R 2? R =? R 3, а объем конуса 1/3? R 2? R = 1/3? R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде? R 3= 1/3? R 3+ Vпш, откуда объем полушара V =? R 3– 1/3? R 3 =2/3? R 3, а объем полного шара V = 4/3? R 3.

 

Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3

Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.

Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.

Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь S их основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R. Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через

 

Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен

v = 1/3 R [ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + и т. д.].

Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность S шара. Значит, v = 1/3RS.

Мы узнали, следовательно, что

о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.

Отсюда выводим, что поверхность шара

S = V: 1/3 R = 3V/R

А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3? R3, то поверхность шара S = 3? 4/3? R3: 4? R2

Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.

 

Повторительные вопросы

Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?

Применения

123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.

Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4? 1/4??? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.

124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?

Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6??? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.

125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?

Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.

126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.

Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения

1/6??? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда

Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.

127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?

Р е ш е н и е. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4?? 402– 4?? 382= 4? [402– 382] = 4?? 78? 2 = 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.

 

Поверхность подобных тел

 

Мы знаем (из § 70), что площади подобных фигур относятся, как квадраты их линейных размеров. То же правило верно и для поверхностей подобных тел (т. е. таких тел, которые при одинаковой форме имеют различные размеры). Это значит, что

п о в е р х н о с т и п о д о б н ы х т е л о т н ос я т с я, к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Если у нас два подобных конуса (имеющие равные углы при вершине), и высота первого в 3 раза больше высоты другого, то поверхность первого в 9 раз больше поверхности другого.

Применения

128. В «Путешествии Гулливера» рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 кв. метра материала, то сколько материала идет на костюм лилипута?

Р е ш е н и е. В 122, т. е. в 144 раза меньше.

40 000 кв. см: 144 = 280 кв. см.

129. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая что оба тела геометрически подобны?

Р е ш е н и е. Поверхность человека меньшего роста состоляет

поверхности более высокого.

 

Объем подобных тел

 

Как относятся между собою о б ъ е м ы подобных тел? Чтобы установить это соотношение» будем рассуждать так. Вообразим два подобных тела (безразлично какой формы). Пусть линейные размеры первого тела в 10 раз меньше линейных размеров второго тела. Рассечем мысленно первое тело тремя рядами параллельных плоскостей на миллиметровые кубики, а второе тело такими же плоскостями на сантиметровые кубики. Так как все линейные размеры первого тела содержат столько миллиметров, сколько размеры второго тела – сантиметров, то объем первого тела заключает в себе столько же миллиметровых кубиков, сколько объем второго тела заключает кубиков сантиметров. Число кубиков в объеме обоих тел одинаково, только каждый кубик первого тела меньше каждого кубика второго тела в 10 10 10, т. е. в 1000 раз. Во столько же раз, конечно, и объем первого тела меньше объема второго тела. Если бы первое тело имело линейные размеры не в 10, а в 3 или в 7? раза меньше, чем размеры второго, то объемы их относились бы как 1: 33или как

Вообще

о б ъ е м ы п о д о б н ы х т е л о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю, к а к к у б ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Поэтому, например, уменьшенная модель изделия, все линейные размеры которого в 6 раз меньше размеров самого изделия, имеет объем в 63, т. е. в 216 раз меньше. Если модель сделана из того же материала, как и изделие, то она весит в 216 раз меньше изделия.

Применения

130. Самовар, окружность которого 55 см, вмещает 42 стакана. Сколько стаканов вмещает самовар такого же фасона, окружность которого 44 см?

Р е ш е н и е. Меньший самовар вмещает

131. Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю десяток, или 55-миллиметровые по 75 копеек?

Р е ш е н и е. Объем меньшего яйца (т. е. количество питательных веществ в нем), считая форму обоих яиц одинаковою, меньше объема крупного яйца в отношении 553: 603= 0,71. Следовательно, меньшие яйца должны были бы продаваться по цене 71 коп, а не 75 коп. Крупные яйца в данном случае дешевле.

132. Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжелее человеческого тела, определить, сколько весит эта статуя.

Р е ш е н и е. Измерением находим длину среднего пальца человека – около 8 см. Следовательно, объем статуи превосходит объём человеческого тела в

раз. Человек весит около 60 килограммов; сделанный из гранита в натуральную величину, он весил бы 60 3 = 180 кг. Следовательно, статуя Мемнона весит

 

 

Тригонометрические таблицы