Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело

Среднее значение плотности потока энергии (т. е. потока энергии через единичную площадку, нормаль к которой совпадает с направлением переноса энергии), переносимой волной, принято называть интенсивностью. Плотность потока энергии, испускаемой излучающим телом во всех направлениях, называют энергетической светимостью тела . Единица измерения - ватт на метр квадратный (1 Вт/ м²).

Тепловое излучение представляет собой совокупность волн с различными частотами w или длинами волн l. Введем обозначение для потока энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот d w. При малом интервале d w поток будет пропорционален d w

, (2.1)

где - спектральная испускательная способность, т. е. плотность потока энергии, испускаемой телом в единичном интервале частот. Испускательная способность зависит от температуры тела. Энергетическая светимость, или интегральная испускательная способность, связана со спектральной испускательной способностью соотношением

.

Вместо частоты w излучение можно характеризовать длиной волны l. Участку спектра d w в этом случае будет соответствовать диапазон длин волн d l. Дифференцируя выражение , получаем

, (2.2)

где с – скорость света в вакууме. Знак «минус» во втором выражении не имеет существенного значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной величины другая убывает. Поэтому знак «минус» в дальнейшем писать не будем. Тогда

. (2.3)

Если диапазоны d w и d l, входящие в выражения (2.1) и (2.3), соответствуют одному и тому же интервалу dR, т. е. , то с учетом (2.2) получаем

. (2.4)

Соотношение (2.4) устанавливает взаимосвязь между плотностями потока энергии приходящимися на единичные интервалы частоты и длины волны.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии , обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале d w. Часть этого потока () будет поглощена телом. Безразмерная величина, определяемая соотношением

,

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность тела зависит от частоты и температуры. По определению, значение не может быть больше 1. Для тела, полностью поглощающего падающее на него излучение во всем диапазоне частот, . Такое тело называется абсолютно черным телом (АЧТ). Тело, для которого , называется серым.

Испускательная () и поглощательная () способности любого тела связаны между собой. Эта связь устанавливается законом Кирхгофа: отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является универсальной для всех тел функцией частоты (длины волны) и температуры. Это отношение называют универсальной функцией Кирхгофа

,

Сами значения величин и у разных тел могут быть различными.Для абсолютно черного тела, по определению, , следовательно, . Таким образом, универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела. Если пользоваться функцией Кирхгофа для длины волны , то связь между функциями следующая:

. (2.5)

Абсолютно черных тел в природе не существует, однако если в ограниченном диапазоне частот (или длин волн) поглощательная способность тела зависит от w и T так же, как и у АЧТ, то такое тело можно считать абсолютно черным в определенном интервале частот. Например, сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способность близкую к единице лишь в ограниченном интервале частот.

Можно создать устройство, достаточно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу. Схематическое изображение АЧТ представлено на рис. 2.1. Оно представляет собой почти замкнутую полость с малым отверстием. Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные отражения от зачерненной поверхности. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение поглощается такой полостью.

 

3. Закон Стефана – Больцмана и закон Вина.
Формула Рэлея – Джинса

Теоретическое объяснение законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к появлению квантовой теории. Долгое время попытки получить теоретический вид функции не давали общего решения задачи. Английский ученый Стефан в 1879 г., анализируя экспериментальные данные для различных тел, пришел к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов. Так, Больцман в 1884 г., исходя из термодинамических соображений, получил теоретическое выражение для энергетической светимости абсолютно черного тела

, (3.1)

где s = 5,7 × 10-8 Вт / (м²×К⁴) есть постоянная Стефана – Больцмана; Т – абсолютная температура. Формула (3.1) является математической формулировкой закона Стефана – Больцмана. Таким образом, вывод, к которому пришел Стефан для серых тел, оказался справедливым только для абсолютно черных тел.

Воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, в 1893 г. В. Вин показал, что функция спектрального распределения энергии излучения должна иметь вид

,

где F – некоторая функция отношения частоты к температуре. Для функции с учетом (2.5) получается выражение

, (3.2)

где – некоторая функция произведения . Соотношение (3.2) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой. Продифференцировав соотношение (3.2) по l и приравняв первую производную к нулю, получим

, (3.3)

где b = 2.9 × 10-3 м × К – универсальная постоянная. Формула (3.3) получила название закона Вина, или закона смещения Вина. Экспериментальные зависимости испускательной способности абсолютно черного тела от длины вол­ны показаны на рис. 3.1. Разные кривые соответствуют различным значениям температуры АЧТ. Площадь под каждой кривой численно равна энергетиче­ской светимости АЧТ при соответствующей температуре. Из анализа представленных на рис. 3.1 результатов следует, что энергетическая светимость АЧТ возрастает с увеличением температуры. Максимум испускательной способности, а следовательно, и с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

Попытка объяснить вид кривых теплового излучения (рис. 3.1), исходя из законов классической физики, была сделана Рэлеем и Джинсом. Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля следует, что, с энергетической точки зрения, «черное» излучение в полости эквивалентно излучению системы из бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических излучателей (радиационных осцилляторов), собственные частоты которых равны частотам соответствующих компонентов «черного» излучения. Методами статистической физики Рэлей и Джинс получили следующее выражение

, (3.4)

где – величина, пропорциональная плотности радиаци­он­ных осцилляторов; e – средняя энер­гия осциллятора. По классиче­ско­му закону о равномерном распре­деле­нии энергии по степеням свободы сис­темы, находящейся в термодина­ми­че­с­ком равновесии e = kT, фор­мула Рэ­лея – Джинса принимает вид

. (3.5)

Отметим особенность формулы Рэлея – Джинса: заряд осциллятора, масса осциллятора, все частные свойства осциллятора не входят в полученное выражение. На рис. 3.2 показана зависимость испускательной способности f (w) АЧТ от частоты. Кривая с максимумом – это экспериментальная зависимость (подобная кривым на рис. 3.1); другая кривая построена по формуле Рэлея – Джинса (3.5). В области малых частот (больших длин волн) значения функции (3.5) довольно хорошо согласуются с экспериментом. Представленные на рис. 3.2 зависимости расходятся в области высоких частот (коротких длин волн). Такое расхождение расчетных и экспериментальных данных получило название «ультрафиолетовая катастрофа». И только отказ от некоторых представлений классической физики позволил дать объяснение свойствам излучения черного тела.

 

Формула Планка

В 1900 г. немецкому физику Максу Планку удалось найти вид функции , в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно, допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), пропорциональных частоте излучения:

,

где n – частота излучения; h – коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Планка, h = 6.625 × 10-34 Дж × с; = h /2p =
= 1.05 × 10–34 Дж × с = 6.59 × 10-14 эВ × с; w = 2pn – круговая частота. При этом, если излучение испускается квантами , то его энергия e _n должна быть кратной этой величине:

(4.1)

Плотность распределения радиационных осцилляторов была подсчитана Планком классически. Согласно распределению Больцмана, число частиц N_n, энергия каждой из которых равна e _n, определяется формулой

, n = 1, 2, 3… (4.2)

где А – нормировочный множитель; k – постоянная Больцмана. Используя определение среднего значения дискретных величин, получаем выражение для средней энергии частиц, которое равно отношению полной энергии частиц к полному числу частиц:

,

где число частиц, обладающих энергией . С учетом (4.1) и (4.2) выражение для среднего значения энергии частиц имеет вид

.

Последующие преобразования приводят к соотношению

.

Таким образом, функция Кирхгофа, с учетом (3.4), имеет вид

. (4.3)

Формула (4.3) называется формулой Планка. Эта формула согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до . В области малых частот, согласно правилам приближенных вычислений, при (): » и выражение (4.3) преобразуется в формулу Рэлея – Джинса.