Изменение атмосф ерного давления с высотой

 

Атмосферное давление убывает с вы сотой, поскольку масса выш ележащего ст олба воздух а уменьшается. Для определения общ его закона изменения давления с высото й возьмем систему координат с осью Н, направленной вертикально вверх. Представим, что на плоскости ХУ давление воздуха равно Р. Выделим элемент арный объем с сечением, равным

1 см2, и высотой dH (рис. 2.7). Давление на верхней грани объема будет р авно P - dP.

Величина изменения давления dP равна весу возд уха, заключенного в рассматриваемом объеме (r dН – масса, r gdН – вес).

 

где: r - плотность возд уха;

g -ускорение силы т яжест и.

dP = -r gdH

 

(2.19)

 

Р ис. 2.7. Изменение давления с в ысотой

Полученное уравнение называется основным уравнением статики атмосферы. Знак минус в правой части показывает, что величина dP отрицат ельная, т.е. давление с высотой уменьшается. Проинтегрируем данное уравнение. Для эт ого подставим в него величину плотности воздуха из уравнения состояния газов

 

(PV =

 

RT,

V = 1,

r

 

P = r RT,

r= P) и пол учим

RT

 

 

 

где: Р – давление воздуха;

R - газовая постоянная;

Т -аб солютная т емпература.

dP =- gP dH, (2.20)

RT

 

Разделим переменные и проинтегрируем левую часть от Р 0 до Рн, а правую ч асть - от

0 д о Н:

Pн dP

ò

Н

=ò-

 

g

 

dH. (2.21)

P 0 P

0 RT

 

Так как g и R изменяются незначительно, то их можно счит ать постоянными.

Температура возд уха с высот ой изменяет ся, поэ тому возьмем ее среднюю величину Тср в

Т 0 + Тн

слое от 0 до Н (Т ср =

2) и также б удем счит ать ее постоянной величиной. После этого

выражение (2.22) примет вид:

 

 

Pн dP

ò

 

 

dH

g Н

=- ò. (2.22)

 

В результате интегрирования получим:

P 0 P

RTср 0

 

gH

ln Pн

-ln P 0 =-

 

RТср

+0. (2.23)

 

 

 

От сюда:

 

ln Pн

 

=ln P 0

- gH.

RТср

 

Умножив второй член правой части на ln e = 1, получим:

 

 

ln P н

 

=ln P 0

- gH ln е.

RТср

 

После потенцирования имеем:

 

 

- gH

Pн

= P 0

gH

e RTср

 

или

 

Pн = P 0 e

 

RTс р

 

, (2.24)

 

где: Р 0 - давление на нижнем уровне;

Рн -давление на высот е Н;

е - осно вание нат уральных логарифмов.

Получ енная фор мула (2.24) вы ражает общ ий за кон изм енения да вл ения с высотой, кот ор ый показывает, чт о с высотой давление уменьшается по логарифмическому закону: в нижних слоях атмосферы оно уменьшается быстрее, чем в верхних.

 

 

БАРОМЕТРИЧЕСКИЕ Ф ОРМУЛЫ

 

Из общего закона изменения давления с высотой можно найти значение высот ы Н.

Для этого запишем его в виде:

 

gH

P 0 = eRTср

P н

 

Прологарифмировав эт у формулу, пол учим

 

lg Р 0 = gH lg e,

Рн RТср

 

 

 

отсюда

RТср

H =

g lg e

lg Р 0. (2.25)

Рн

 

 

Абсолютную температ ур у представим как

 

Тср = 273 + tср или

 

Т ср

 

 

=273 (1 + 1 t ср),

 

где: lg e = 0,43429 = М - модуль десятичного логарифма;

R = 287 Дж/кгК;

g = 9,806 м/с2.

 

Подставляя значения Тср и lg e в (2.25), получим:

 

H = R × 273 (1+ 1 tср) lg Р 0.

 

 

При этом

g × 0, 43429

273 Рн

R × 273 = 287 × 273 =7991 м»8000 м,

g 9,806

 

 

а т.к.

8000 =18400 (точнее 18401,2 м), то окончат ельно

0,43429

H =18400 (1 + 1 tср) lg Р 0, (2.26)

 

 

где: Н - высота в метрах;

Р 0 - давление на нижнем уровне;

Рн -давление на высоте Н;

+

273 Рн

tср = t 0 t н

- средняя т емперат ура слоя возд уха;

 

1 -коэффициент объ емного расш ирения газа.

Пол ученная формула называется барометрической формулой Лапласа. Зная д авл ение на начально м ур овне Р 0 и на неко тор ой вы со те Рн, а т ак же среднюю т емпер ат уру в сло е во здух а от 0 до Н, с помощ ью д анной фор мулы можно определит ь высот у Н в мет рах. С ее помощью проводится тарировка (градуировка) барометрических высотомеров. Данную ф ормул у можно применять т олько дл я тро по сф еры, так как она не учитывает влияния влажности воздуха и изменения силы т яжести в з ависимо ст и от высот ы и ш ирот ы места.

Для небольших разностей высот обычно используют упрощенную барометрическ ую формулу Бабине. Ее можно получит ь из основного уравнения статики атмосферы (2.19), если считать плотность воздуха между двумя уровнями постоянной и равной средней плотности рассмат риваемого слоя воздуха (r ср).

Запишем основное уравнение статики ат мосферы в конечны х приращениях:

 

Δ Р = -r ср g Δ H. (2.27)

 

Решим эт о уравнение от носительно Δ H и найдем абсолютную величину:

 

Δ P

r g

Δ H =.

ср

 

Заменим r ср выражением из уравнения состояния газов:

 

r ср

 

= Рср,

RТср

 

 

т огда

Δ H = R Тср Δ P, (2.28)

r ср g

 

 

но Δ Р = Р0 - Рн,

Р 0 + P н

Рср

=,

2

 

Т ср = 273 (1 +

273

 

t ср).

 

 

Подст авим эти значения в (2.28) и получим:

 

Δ H = R × 273 × 2 (1 + 1 t ср) Р 0 - P н,

 

как известно

 

 

R × 273»8000 м,

g

g 273

Р 0 + Pн

 

т огда

Δ H =16000 (1+ 1 tср) Р 0 - P н. (2.29)

Р 0 + Pн

 

Пол ученная формула называет ся форм улой Бабине. Барометрические формулы

Л апласа и Бабине применяются для решения следующих зад ач:

- опред еления превышения одного пункта над др угим по данным измерения давления и температуры возд ух а в эт их пункт ах. Такой мет од определения превышения называет ся барометрическим нивелированием;

- расчета давления на заданной высоте, если извест но давление на нижележащем уровне и средняя температ ура рассмат риваемого слоя возд уха;

- приведения измеренного давления Р к уровню моря или к уро вню взлетно-посадочной полосы (ВПП). Данные об атмосферном давлении, приведенном к уровню моря, позволяют сравнивать межд у соб ой величины давления во всех пунктах земного шара и проводить синопт ический анализ. Д анные о давлении, приведенном к уровню ВПП, используются в авиационной практике.

БАРИЧЕСКАЯ СТУПЕНЬ

 

Для ориентировочной оценки изменения д авления с высотой, а также д ля приближенного расчета изменения высоты по разности значений давления на практ ике пользуются барическо й ступенью.

 

Барическая ступень (h) – это высота, на которую нужно подняться или опуститься, чтобы давление изменилось на о дну единицу (на 1 гПа или 1 мм рт.ст.). Величину барической ст упени можно определит ь из формулы Бабине (2.29).

По определению барической ст упени Р 0 - Рн = 1.

+

А так как

Р 0 P н = Рср, то Р

+ P н = 2 Рср.

 

После подстановки формула Бабине примет вид:

 

h = 8000 (1 + 1 t ср). (2.30)

Рср

 

Из формулы видно, чт о величина барической ст упени находится в прямой зависимости от температ ур ы воздуха и в обрат ной – от давления, т.е. чем теплее воздух и меньш е д авление, тем больш е барическая ступень, а, следовательно, тем медленнее уменьшает ся д авление с высотой. У земной поверх ност и при стандартном давлении Р 0 = 1013,2 гПа (760 мм рт.ст.) h = 11 м/мм рт.ст. или h = 8 м/гПа. Сред ние значения барической ст упени на различных высотах представлены в табл. 2.7.

 

Таблица 2.7. Значения барической ступени на различных высотах

 

Высота, км
Барическая ступень, гПа	8,2	9,4	10,5	12,9	16,1	18,0	20,3	29,8	56,1	105,6

 

Величина барической ст упени использует ся в авиации при расчетах безопасной высоты полет а в равнинной и холмистой местности. С ее помощью можно приводить (в первом приближении) д авление к уровню моря по формуле:

 

Рприв = Ра / д + Н а / д, (2.31)

h

 

где: Рприв – давление аэ родрома, привед енное к уровню моря (мм рт.ст. или гПа);

Ра / д

Н а / д

– давление аэ родрома (мм рт.ст. или гПа);

– высот а аэрод рома над уровнем моря в метрах;

h – б арическая ступень.

 

ПОНЯТИЕ О ГЕОПОТЕНЦИАЛЕ

 

Распределение д авления в атмосфере можно представить в виде б есчисленного количества поверхностей, во всех точках которых давление одинаково. Такие поверхности называются изобарическими (изо - равный, барос - т яжесть, давление). Они располагаются одна над др угой и не параллельны уровню моря, что объясняет ся неравномерным распределением по горизонтали температ уры и давления воздуха, а, след оват ельно, и различной барической ст упенью. Высоты изобарических поверхност ей измеряют ся от уровня моря в единицах геопотенциала.

Геопотенциал представляет собой работ у, которую надо соверш ить, чт обы поднять единицу массы от уровня моря до д анной высоты. Сила т яжести Р, действующая на ед иницу массы, равна Р = g × 1 = g, а работа Ф, затрачиваемая на поднятие ед иницы массы на высот у Н, равна:

Ф = gH. (2.32)

 

Эту работу и называют потенциалом силы тяжести или геопотенциалом. Единицей геопотенциала является геопот енциальный метр (гпм), равный работе, кот орую надо совершит ь чтобы под нят ь массу в 1 тонну на высот у 1 метр при ускорении силы тяжести g = 9,8 м/с2. Геопотенциальный метр отличается от линейного очень незначит ельно, всего на 0,3%. Но линейный метр характеризует только количественную сторону, а геопот енциаль- ный метр – качест венную сторону изобарической поверхности. Связь геопотенциала (высоты изобарической поверхност и в геопот енциальных мет рах) с температ урой и давлением воздуха, полученная из основного уравнения статики атмосферы, имеет вид:

 

Н гпм =67,4424 Т ср lg Р 0. (2.33)

Рн

 

Из формулы видно, что при постоянном значении Рн, высота изобарической поверхности находится в прямой зависимости от давления на уровне моря (Р 0) и от средней температуры слоя воздуха (Тср) от уровня моря до изобарической поверхности Рн, т.е. над районами с т еплы м воздухом и над областями высокого давления изобарические поверхности поднимаются вверх, а над районами с холодным воздухом и над областями низкого давления опускают ся вниз относительно своей средней высоты.