Методика расчета случайных ошибок прямых измерений

 

Пусть измеряется n раз некоторая физическая величина Х. Из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, мы получаем набор значений Х₁, Х₂, Х₃,..., Х_n. Наиболее близким к истинному значению Х_ИСТ будет среднее арифметическое

. (1.3)

Чем больше измерений, тем ближе < X > и Х_ИСТ, а при

.

В реальном эксперименте число измерений всегда ограничено, поэтому истинное значение измеряемой величины остается неизвестным. Результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое < X > всегда содержат ошибку, поэтому вместе с результатом измерений нужно указать возможную величину ошибки, т.е. представить результат в виде

.

Эта запись равнозначна неравенству

. (1.4)

Существует несколько способов оценки случайной ошибки DХ. Мы рассмотрим один из них, наиболее часто используемый при обработке результатов эксперимента. По результатам измерений рассчитывают так называемую среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

. (1.5)

Так как результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое – случайные величины, то и S_{< Х >} тоже случайная величина. Поэтому мы не можем утверждать, например, что возможная ошибка DХ не превышает величины S_{< Х >}. Следовательно, нужно не только рассчитать возможную величину ошибки, но и указать вероятность того, что среднее арифметическое отличается от Х_ИСТ не более чем на величину DХ, т.е. вероятность, с которой выполняется неравенство (1.4).

Область значений называется доверительным интервалом, а соответствующая вероятность – доверительной α. Доверительная вероятность является весьма важной характеристикой измерений, так как позволяет судить о надежности полученного результата.

Для нахождения доверительной вероятности необходимо знать закон распределения случайной величины (Х_i; < Х >; S_{< Х >}). Наиболее часто встречается на практике распределение Гаусса (нормальное распределение):

.

Здесь f(х) – функция распределения случайной величины Х. Произведение f(х) · dх равно вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное между Х и Х + DХ.

Графически закон Гаусса представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Кривая Гаусса характеризуется двумя параметрами: Х_ИСТ и σ.

Х_ИСТ определяет положение вершины, а σ – ширину кривой (2 σ – расстояние между точками перегиба). Параметр σ называют стандартным отклонением или средним квадратическим. Он определяет разброс результатов измерений около Х_ИСТ, т.е. характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. На рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для разных значений стандартного отклонения (σ ₁ и σ ₂). В законе Гаусса σ ² носит название дисперсии случайной величины (дисперсия – разброс).

Среднее арифметическое, как случайная величина, тоже описывается законом Гаусса с параметрами ,

.

Среднее значение является лучшей оценкой для Х_ИСТ, чем результат отдельного измерения, так как кривая f (< х >) в n раз уже.

При известном параметре σ _{< Х >} доверительная вероятность:

.

Если задать доверительный интервал , то a = 0,682; если , то , то .

Указанные значения доверительной вероятности относятся к бесконечно большому числу измерений. В практике физического эксперимента N часто не превышает 10, а параметр неизвестен. Если за принять , то доверительная вероятность, рассчитанная на основе закон Гаусса, оказывается завышенной.

Существует другой, более строгий метод определения доверительной вероятности, основанный на распределении Стьюдента, которое учитывает случайный характер величины . Распределение Стьюдента не содержит неизвестных параметров Х_ИСТ, и существенно отли­чается от гауссового при малом числе измерений (N < 30). В физическом лабораторном практикуме обычно ставится такая задача: по заданной доверительной вероятности нужно оценить величину доверительного интервала. На основе распределения Стьюдента доверительный интервал

,

где – коэффициент Стьюдента.

Существуют таблицы, в которых даны значения коэффициента Стьюдента для разных значений доверительной вероятности и различного числа измерений (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Коэффициент Стьюдента

 

n	a
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	31,6
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
	0,7	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8

 

Таким образом, порядок расчета случайной ошибки измерения должен быть следующим:

а) производят n измерений искомой физической величины и вычисляют ее среднее значение

;

б) находят абсолютные погрешности отдельных измерений

;

в) рассчитывают среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

;

г) по заданной доверительной вероятности a и числу измерений n находят из табл. 1.1 коэффициент Стьюдента ;

д) рассчитывают доверительный интервал

;

е) окончательный результат записывают в виде

при .

Замечания. Так как при малом числе измерений является случайной величиной и определяется с большой погрешностью, то при записи числового значения доверительного интервала необходимо учитывать это обстоятельство. В теории ошибок доказано, что при числе измерений n £ 10 в числовом значении достаточно оставить одну значащую цифру, если она больше трех (), и две, если первая из них меньше четырех (). Затем числовое значение < X > округляют до разряда ошибки, например:

.

Точность вычислений при обработке результатов измерений нужно согласовать с точностью самих измерений, ошибка вычислений должна быть на порядок меньше ошибки измерений.

 

Систематические ошибки. Соотношение случайной
и систематической ошибок

 

Систематические ошибки могут существенно исказить результат измерения, поэтому перед началом измерений необходимо выявить систематические ошибки и, если возможно, исключить их. С этой целью проверяют исправность используемых приборов, правильность их установки, анализируют метод измерения и т. д. Чаще всего источником систематических погрешностей являются неточности, допущенные при изготовлении измерительных приборов, такие погрешности называют инструментальными, или приборными. Эти ошибки при изготовлении приборов не определяют, а лишь устанавливают, не превышают ли они допустимые пределы. Предельная погрешность d обычно указывается в паспорте или обозначается соответствующим условным знаком на шкале прибора. Например, для микрометра предельная погрешность равна 0,004 мм, для штангенциркуля – 0,05 мми т. д.

Таким образом, в результате обработки данных, полученных при измерении, мы находим случайную ошибку, величина которой определяется полушириной доверительного интервала , и ситематическую ошибку, равную предельной погрешности: Если предель­ная допустимая погрешность измерительного прибора не указана, то ∆Х_пр берут равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

К какому же отношению между величинами случайной и систематической погрешностей следует стремиться при проведении измерений? По-видимому, определяющей должна быть систематическая ошибка, т.е., выбирая метод измерения и необходимое число измерений, нужно добиваться, чтобы была меньше . Если , то пренебрегают систематической ошибкой, при рассматривают только систематическую ошибку. Может оказаться, что случайная ошибка сравнима по величине с систематической, тогда находят суммарную ошибку

.