Неинерциальные системы отсчета

ЛЕКЦИЯ № 13

Что такое силы инерции.

Силы инерции при поступательном движении. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса

Что такое силы инерции

Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета (см. лекцию 4, § 2). Неинерциальными являются системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно неинерциальных. Например, система отсче- та, связанная с Землей, является неинерциальной из-за вращения нашей плане- ты вокруг собственной оси и поступательного движения по эллипсу вокруг Солнца. Правда, этой неинерциальностью в первом приближении можно пре- небречь, но при более точных расчетах ее необходимо учитывать. Учет этот можно сделать, если проводить расчеты в инерциальной системе отсчета (на- пример, связанной с Солнцем – гелиоцентрической), либо добавить во второй закон Ньютона так называемые силы инерции и рассчитать движение тела в неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции не являются силами взаимодействия рассматриваемого те- ла с какими-либо другими телами, а добавляются во второй закон Ньютона для учета ускоренного движения неинерциальной системы отсчета. Поэтому их, в отличие от истинных сил, называют фиктивными силами. Поэтому понятно, что силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона.

Обозначим через a, как и в предыдущих лекциях, ускорение материальной

'

a

точки в инерциальной системе отчета,  – ее ускорение в неинерциальной сис-

'

теме отсчета и w – разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета

'

  

w a a

откуда   .

 

(13.1)

 

a

a

w

Умножим это равенство на массу материальной точки m:

 

ma ma



'

mw.

 

(13.2)

 

По второму закону Ньютона (4.4), произведение ma

сумме всех истинных сил, действующих на тело, т.е.:



равно F – векторной

 

тогда из (13.2) получим:

ma F,

 ' 

F ma mw.                                    (13.3)

Выразим из (13.3) произведение массы материальной точки на ее ускоре-

'

ние a в неинерциальной системе отсчета:

 

 

Введем величину:

 

'

ma  F

'



mw.



 

(13.4)

 

(13.5)

 

и назовем ее суммой сил инерции. Как видно, сумма сил инерции просто равна по величине и противоположна по направлению произведению массы тела на w – разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета.

С учетом (13.5) выражение (13.4) будет иметь вид второго закона Ньютона, записанного в неинерциальной системе отсчета:

'

'

  

ma F F.

 

(13.6)

 

В отличие от второго закона Ньютона (4.4), в правую часть которого вхо- дят только истинные силы (т.е. силы, подчиняющиеся третьему закону Ньюто- на), в правой части выражения (13.6) находятся и фиктивные силы, или силы инерции.

 

 

§ 2. Силы инерции при поступательном движении системы отсчета

Напомним, что поступательным называется такое движение, при котором любая линия, проведенная в теле, остается при его движении параллельной са- мой себе. Применительно к движущейся неинерциальной системе отсчета К это означает, что оси ее системы координат сохраняют при движении свое на- правление относительно осей координат инерциальной системы отсчета К. Иными словами, ускорение w, входящее в формулу (13.1), является величи- ной, не зависящей от положения материальной точки, и представляет собой ус- корение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

' В

этом случае действующие на материальную точку силы инерции

F Fин , в соответствии с (13.5), также будут одинаковыми в любом месте не-

инерциальной системы отчета и не будут зависеть от скорости частицы:

F

(13.7)

 

Отметим, что если неинерциальная система отсчета движется поступа- тельно, но по криволинейной траектории, то ее ускорение можно разложить  на

две составляющие: нормальное

wn и тангенциальное w (см. лекцию 3, § 1).

Соответственно этому можно ввести две составляющие силы инерции:



Fин

 

'

'

Fn  Fτ .                                                 (13.8)

 

Рассмотрим пример, когда неинерциальная система отсчета движется прямолинейно с ускорением w относительно инерциальной. Выберем систе- мы координат так, чтобы оси х и  были направлены вдоль ускорения w (рис. 13.1).

Из рис. 13.1 очевидно, что:

x

y            .                                 (13.9)

z

 

 

Рис. 13.1

Продифференцировав равенства (13.9) дважды по времени, получим:

d 2 x

dt 2                               ,

 

 

d 2 y

dt 2               ,

 

d 2z

 

dt 2

d 2z

dt 2

или, по (2.9а):

 

a x a _x

 

 

 

w x,

 

.

 

 

 

Последнее равенство можно переписать в векторном виде:

 

a       w.

(13.10)

 

Пусть, например, материальная точка покоится в системе К, тогда ее ко- ординаты x, y, z постоянны, значит, ее ускорение в системе К:

 

Тогда из (13.10) следует, что в этом случае:

    

a  w,

 

т.е. для наблюдателя в системе  рассматриваемая материальная точка дви-



жется с ускорением a,  направленным в сторону, противоположную ускоре-

нию самой системы К. Скажем, Вы сидите в троллейбусе и смотрите из окна на лежащий на земле камень. Троллейбус трогается от остановки с ускорением

a

w. В Вашей системе отсчета камень будет двигаться с  ускорением , на-

правленным противоположно ускорению троллейбуса w. Желая применить второй закон Ньютона в системе, связанной с троллейбусом, Вы  запишите

m

уравнение:                                      

a

 

и будете объяснять ускорение камня (в Вашей системе К!) действием фиктив-

ной силы:



F  mw.

 

Теперь разберем другой пример с тем же троллейбусом. Пусть Вы   стоите

в пустом проходе троллейбуса, троллейбус трогается от остановки и начинает

двигаться с ускорением

F        

w. Вы чувствуете, что на Вас действует сила

Mw,

направленная в сторону, противоположную ускорению троллейбу-

са. И, хотя эта сила фиктивная и не подчиняется третьему закону Ньютона (нельзя указать тело, являющееся источником этой силы!), под действием этой



силы верхняя часть Вашего тела приобретет ускорение

 

(ноги удерживает

сила трения!), и Вы вполне реально начинаете падать (относительно троллейбу- са). С точки зрения Вашего друга, наблюдавшего эту же ситуацию с остановки (в инерциальной системе К), на Вашу голову не действуют никакие силы, и она, по первому закону Ньютона, остается в покое относительно системы К (ос- тановки). А вот троллейбус уезжает от Вас вперед с ускорением. Ноги за счет

силы трения приобретают ускорение падать!

w, а голова пока в покое, и Вы начинаете

 

 

§ 3. Центробежная сила инерции

Пусть Ваш троллейбус делает поворот по дуге радиуса R. И Вы опять чув- ствуете на себе действие силы инерции, которая тянет Вас от центра окружно- сти, по которой движется сейчас троллейбус. Эта сила инерции называется цен- тробежной силой инерции. Понять ее происхождение несложно. Введем опять две системы координат: инерциальную К и неинерциальную К. Оси z этих систем пусть совпадают и направлены из центра окружности, по которой дви- жется троллейбус, вверх.

Оси x и y неподвижны относительно земли, а оси и поворачиваются вместе с троллейбусом Т (см. рис. 13.2). Причем угол поворота равномерно увеличивается с течением времени z с угловой скоростью

ω t.

 

Рис. 13.2

Систему К будем считать инерциальной, а систему К – неинерциальной.

Материальная точка (Ваше тело) в системе К движется по окружности ра- диусом R с ускорением a, направленным к центру этой окружности. Это уско- рение определяется, в соответствии формулой (7.7):

R

ω

2



a           .                                     (13.11)

 

Вектор R на рис. 13.2 направлен от центра окружности к материальной точке, ускорение a направлено против вектора R.

В инерциальной системе К, связанной с землей, причиной ускорения явля-

ется сила F, с которой Вы тянете или толкаете себя, держась за какую-либо часть троллейбуса, к центру окружности. (Если Вам повезло и Вы сидите, то на Вас такая же сила действует со стороны кресла троллейбуса.)

По второму закону Ньютона, в инерциальной системе К:



ma F.

С учетом (13.11) отсюда имеем:

 

mRω2

F.                                    (13.12)

 

В неинерциальной системе  Вы покоитесь, Ваше ускорение  0.

Желая применить второй закон Ньютона в этой системе отсчета, Вы, чтобы  по-

лучить нулевое ускорение a,

должны записать:



ma  F

 

так как a 0, то предыдущее уравнение переходит в следующее:

 

0 F                                               (13.13)

 

т.е. в системе сумма сил должна быть равна нулю.

В уравнении (13.13) F – реальная сила,   – сила инерции. С учетом

(13.12) из (13.13) для силы инерции F



Fц.б.

имеем:



Fц.б.

mω2R .                                (13.14)

 

Эту силу инерции называют центробежной силой инерции, так как она на-

правлена от центра окружности (по вектору R, как следует из формулы (13.14) и из личного опыта каждого пассажира).

Центробежная сила инерции не зависит от того, покоится ли тело в систе- ме  или движется относительно нее с какой-то скоростью  (скорость не

входит в формулу (13.14)). При точных расчетах поведения тел в системе от- счета, связанной с Землей, нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе, где R = R_з = 6,38 10⁶ м. Угловая скорость вра- щения Земли вокруг своей оси может быть найдена по формуле (7.9), куда в ка- честве периода Т_з надо подставить количество секунд в сутках:

Т_з = 60 60 24 = 86400 с.

С учетом этого имеем:

 

ωз   2π Tз

 6,28

86 400

7,27 10

рад.

c

 

На тело массой m = 1 кг на экваторе с учетом приведенных значений R_z и

z действует, в соответствии с (13.14), центробежная сила инерции:

 

F ц.б.

 

1 7,27 10

5 2 6,38

106

 

0,0337 H,

 

что составляет 1/291 часть от силы тяжести, равной 9,81 Н. Сила тяжести mg

является равнодействующей гравитационной силы

Fγ, направленной к центру

Земли и центробежной силы инерции

Fц.б., направленной перпендикулярно

оси вращения Земли. В результате этого направление силы тяжести mg

не сов-

падает с направлением к центру Земли (за исключением экватора и полюсов). Величина ускорения свободного падения зависит от широты: на экваторе ми- нимальна гравитационная сила (из-за сплюснутости Земли с полюсов) и макси- мальна центробежная, в результате там значение g минимально и равно g_экв = 9,780 м/с². На полюсах g максимально и равно g_пол = 9,832 м/с².

§ 4. Сила Кориолиса

При движении тела во вращающейся системе отсчета, кроме центробеж- ной силы инерции, возникает еще одна, которую называют силой Кориолиса, или кориолисовой силой. Величина этой силы определяется формулой:

F         

 

здесь m – масса тела;

к 2m v ω,                                 (13.15)

v   – вектор скорости тела относительно вращающейся (неинерциальной) системы отсчета;

ω – вектор угловой скорости вращения неинерциальной системы отсчета.

Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, две системы отсчета К и К, оси z и которых совпадают с осью вращения системы относительно К. Пусть тело массой m неподвижно относительно инерциальной системы отсчета К.

Тогда относительно системы оно будет двигаться по окружности радиуса R с линейной скоростью, которую можно найти с помощью формулы (7.4), если поставить там знак «минус»:

   

v  ωR

.                                   (13.16)

 

 

Рис. 13.3

 

Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Как мы знаем из предыдущего пара- графа, на тело массой m во вращающейся системе отсчета К, независимо от состояния его движени,я действует центробежная сила инерции, направленная, в соответствии с формулой (13.14), от центра окружности, по которой движет- ся тело:

Fц.б.

mω²R.

 

Но для движения по окружности необходима сила, направленная к центру этой окружности. Значит, кроме центробежной силы инерции, на наше тело должна в системе действовать еще одна сила, направленная, в нашем случае, против центробежной. Векторная сумма этих сил должна обеспечить центрост- ремительное ускорение этому телу:

 

a aц.с.

Rω2

 

.                              (13.17)

 

Этой второй фиктивной силой в нашей системе отсчета и является сила

Кориолиса

Fк. Действительно, в соответствии с (13.15), Fк

направлена (в соот-

ветствии с правилом правого винта) к центру окружности. Ее модуль, с учетом

(13.16) и (13.15), равен:                 2

Fк 2mω R.

Вычитая из силы Кориолиса центробежную,  равную m ²R, получим рав- нодействующую, направленную к центру окружности и равную:

F Fк

Fц.б.

2mω2R

mω2R

mω²R.

В векторном виде:

F -mω²R.                                   (13.18)

Если мы желаем применить второй закон Ньютона в неинерциальной сис- теме отсчета, то мы должны сумму всех сил, включая и фиктивные, приравнять

к массе тела, умноженной на его ускорение a aц.c.. Так как тело покоилось в

системе К, то сумма реальных сил F

0, тогда:



ma   .                                      13.19)

Подставляя (13.17) и (13.18) в (13.19), видим, что  - векторная сумма си- лы Кориолиса и центробежной силы сообщают телу центростремительное ус- корение. Действительно:

mRω²  mω²R.

Вывод формулы (13.15) достаточно сложен, и мы его не приводим. Разо- бранный пример прост и убедительно показывает правильность формулы (13.15).

Сила Кориолиса играет исключительно важную роль при движении боль- ших потоков океанических вод и атмосферного воздуха на нашей планете. Силу Кориолиса должны учитывать артиллеристы и ракетчики при стрельбе на даль- ние расстояния. Эта же сила приводит к тому, что у рек в северном полушарии подмывается всегда правый берег (например, крутые правые берега у Оби),  в южном – левый.

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13

1. Для использования второго закона Ньютона в неинерциальных системах отсчета надо, кроме истинных сил, учитывать фиктивные силы или силы инер- ции.

2. Силы инерции не являются силами взаимодействия, поэтому не подчи- няются третьему закону Ньютона.

3. Суммарная сила инерции , действующая на тело массой m в неинер- циальной системе отсчета, равна по величине и противоположна по направле- нию произведению массы тела на w разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета, т.е. п (13.5):

F



mw,

где w определяется в соответствии с (13.1):

 

w a

 

4. При поступательном движении неинерциальной системы отсчета отно-

/



сительно инерциальной силы инерции F



Fин

одинаковы в любом месте не-

инерциальной системы и не зависят от скорости движения частицы, их величи- на определяется формулой (13.7):

Fин



mw,

 

где w – ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциаль- ной.

5. Во вращающейся системе отсчета действуют центробежные силы инер- ции и силы Кориолиса.

6. Величина центробежной силы инерции тицы и определяется формулой (13.14):

Fц.б.

не зависит от скорости час-

Fц.б.

mω²R,

где - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относи- тельно инерциальной;

R – расстояние от материально точки массой m до оси вращения.

7. Сила Кориолиса F к

действует на частицу массой m, движущуюся со

скоростью  относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся со

скоростью ω (см. (13.15)):            

F _к 2m v / ω.

Направление силы Кориолиса перпендикулярно векторам  и ω и опре- деляется по правилу правого винта.

 

Учебное издание

Тюшев Александр Николаевич

Вылегжанина Вера Дмитриевна

 

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

 

Часть 1 Механика

Пособие для студентов 1 и 2 курсов

 

 

Ответственный редактор: Серегин Г.В. Редакторы: Деханова Е.К.

Шилова Л.Н.

 

Изд. лиц. № ЛР 020461 от 04.03.1997.

Подписано в печать 30.04.03. Формат 60 84 1/16 Печать цифровая

Усл. печ. л. 6.68. Уч.-изд. л. 6.85. Тираж 100 Заказ                                          Цена договорная

 

Гигиеническое заключение

№ 54.НК.05.953.П.000147.12.02. от 10.12.2002.