Скорость. Вычисление пройденного пути. Ускорение

§1. Скорость

Слово «скорость» мы часто используем в своей речи и на обыденном уровне представляем себе, что оно означает величину, характеризующую либо быстроту движения, либо быстроту какого-либо процесса.

Однако, для того, чтобы ввести в механику точный физический термин

«скорость», потребовалось создать новую область математики – научиться опе- рировать с бесконечно малыми величинами. Известны многочисленные пара- доксы, связанные с проблемой скорости движения. Вот один из них, принадле- жащий древнегреческому философу Зенону Элейскому, жившему примерно 2 500 лет тому назад. В этом парадоксе утверждается, что быстроногий Ахил- лес никогда не сможет догнать медлительную черепаху. Вот как излагает рас- суждения Зенона известный американский физик Ричард Фейнман в первом томе своих лекций по физике. Предположим, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахил- лес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее… до бесконечности. Следо- вательно, в любой момент времени черепаха будет впереди Ахиллеса, и он ни- когда не сможет перегнать ее! В чем ошибочность этих рассуждений? Конеч- ный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей. Но бес- конечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Для того, чтобы научиться правильно оперировать с бесконечно малыми величинами, человечеству пона- добилось примерно 2 000 лет. Честь создания дифференциального и интеграль- ного исчисления принадлежит И. Ньютону (наряду с Г. Лейбницем). В своем грандиозном труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) Ньютон сформулировал исходные понятия и основные законы классической механики.

 

Сейчас мы дадим точное и строгое определение физического термина

«скорость». Исходя из этого определения, выясним свойства скорости.

Скорость – это производная радиус-вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

 

.         (2.1)

Как видно из этого определения, скорость – величина векторная, т.е. когда употребляют термин «скорость», имеют в виду вектор, который имеет две ха- рактеристики: направление и модуль.

 

Скорость направлена по касательной к траектории. Это можно устано- вить, проанализировав определение скорости (2.1).

Так как

v

               ,                                 (2.1а)

 

то направление вектора v совпадает с предельным  направлением вектора.

На рис. 2.1а, 2.1б, 2.1в показаны этапы предельного перехода для плоского движения, когда материальная точка движется по произвольной траектории.

На рис. 2.1а изображены радиус-векторы материальной точки для момен-

тов времени t₁ и t₂, а также вектор перемещения r

r2       r1

этой материальной

точки за промежуток времени

t t2

t1.

Отношение перемещения     к

промежутку времени промежуток времени

дает среднюю скорость <v> материальной точки за

 



v                                                    (2.1б)

 

Направление средней скорости, как следует из ее определения (2.1б), сов-

падает с направлением вектора перемещения.

 

При уменьшении промежутка времени t радиус-вектор

r2 приближается к

r1. При этом вектор перемещения

меняет свое направление, он поворачи-

вается против часовой стрелки. Модуль вектора  уменьшается. Это проме-

жуточное положение при совершении предельного перехода  ( t 0) зафикси- ровано на рис. 2.1б.

 

При дальнейшем уменьшении

и приближении

r2 к

r1 направление век-

тора  приближается к направлению касательной к траектории. Как известно

из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.

Значит, когда предельный переход будет завершен, бесконечно малый вектор

перемещения  будет направлен по касательной к траектории.

 

Следовательно, и вектор скорости будет направлен по касательной к траектории. Это изображено на рис. 2.1в.

y

 

 

Рис. 2.1а

 

 

y

 

 

Рис. 2.1б

 

y

 

Рис. 2.1в

Компоненты скорости

На рис. 2.2 изображен вектор скорости v материальной точки, движущей- ся по плоскости x, y. Вектор v можно разложить на два составляющих его век-

тора

ex vx

и eyvy .

 

Рис. 2.2

Компоненты скорости, т.е. проекции вектора v на координатные оси обо-

значены v_x, v_y. Так как на рис. 2.2 вектор

ex vx

направлен по оси х, то компо-

нента скорости v_x > 0. Вектор

ey v y

у нас направлен против оси, значит, соот-

ветствующая компонента скорости v_y < 0.

Из определения (2.1) и формулы (1.1) следует, что для трехмерного про- странства скорость в декартовых координатах выражается следующим обра- зом:

 

 

С другой стороны:

  

v r ex x





ey y



ez z

 

(2.1а)

 

откуда

v ex vx

ey vy

ez vz ,                        (2.1б)

 

vx               , vy

и vz

,        (2.2)

 

т.е. компоненты скорости в декартовых координатах равны производным со- ответствующих координат по времени.

Модуль скорости – это производная пути по времени. В самом деле, при (см. рис. 1.8, 2.1а, 2.1б). Используя это, получим для модуля

скорости из определения (2.1а):

  

v                                                                                 (2.3)

 

Выразим модуль скорости через ее компоненты. По теореме Пифагора (см. рис. 2.2):



 



В трехмерном пространстве v



 

 

ex vx

 

.

 

ey vy

 

 

ez vz

 

и модуль скорости:

 

(2.4)

 

 

§2. Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения, т.е. для движения с постоянной по модулю



скоростью: v

v const, путь равен:

s12

 

vt ,                                          (2.5)

где s₁₂ – весь путь (рис. 2.3);

t – весь отрезок времени;



v – const.

Рис. 2.3

Формула (2.5), известная по школьному курсу физики, следует из формулы (2.3). Запишем формулу (2.3) в следующем виде:

 

 

тогда

v ds,

dt

ds vdt,                                         (2.3а)

здесь ds – бесконечно малый отрезок пути, пройденный за бесконечно малое время dt.

Складывая все ds, получим s12, сумма всех dt даст время движения t. Опе-

рация сложения бесконечно малых величин носит в математике название ин- тегрирования. Интегрируя (2.3а), получим:

2         t

vdt

1        0

t

v dt.

0

В правой части мы вынесли за знак интеграла скорость v, так как она в на- шем случае постоянна. Интеграл от ds есть s12, а интеграл от dt – время движе- ния t, следовательно, мы получим формулу, совпадающую с (2.5):

 

s12

vt.

 

Для произвольного движения (рис. 2.4), т.е. для движения с переменной скоростью разобьем весь путь на очень маленькие участки

s12        s1

s_n v₁ t₁

v1

v₂ t₂

...

vi t_i

...

v_n t_n.

 

 

 

Значения модуля скорости vi

Рис. 2.4

 

в течение отрезка времени

 

 

приблизи-

тельно постоянны, если В пределе:

достаточно малы.

 

s12

n

i

i

lim  v t

t 0 i 1

t2

v(t)dt,                             (2.6)

t1

 

т.е. путь – это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

Так как модуль скорости – величина положительная, то путь всегда поло- жителен и может только возрастать с течением времени.

 

 

§3. Ускорение

В общем случае скорость материальной точки может изменяться как по величине (т.е. по модулю), так и по направлению. Быстроту этого изменения характеризует векторная величина, которую называют термином «ускорение».

Ускорение – это производная скорости по времени.



Учитывая, что v

или               .

 

r

(2.1), получим:

(2.7)

 

dr

 d   

d2 

 

.                          (2.8)

a

dt  dt

dt²

 

Ускорение – вторая производная радиус-вектора по времени. Производ- ную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение – это скорость изменения скорости.

Вектор ускорения a, так же, как и векторы r

составляющие:

и v, можно разложить на

a exax

eya y

ezaz,

 

где а_х, а_y, а_z – компоненты ускорения.

Из определения (2.7) и формулы (2.1б) следует, что:

 

ax    x

, ay    y            , a

 

,             (2.9)

 

т.е. компоненты ускорения равны производным по времени от соответствую- щих компонент скорости.

Используя формулы (2.8) и (1.1), получим, что:

 

ax               , ay

, az

 

,               (2.9а)

 

т.е. компоненты ускорения равны вторым производным по времени от соот- ветствующих координат материальной точки.

§4. Нахождение зависимости скорости от времени

Запишем первую из формул (2.7) в следующем виде:

 

dv a ( t ) dt.                                   (2.7а)

 

Формула (2.7а) позволяет найти приращение скорости dv

за бесконечно

малый промежуток времени dt. Если известна начальная скорость

v0

 ( при t

0 ), то, используя (2.7а), можно найти скорость спустя бесконечно

малый интервал dt:

 



v t dt

 

 

v0  a(t)dt.

 

 

(2.10)

 

Если нам известна зависимость ускорения от времени, т.е. функция

A(t),

то начатый формулой (2.10) процесс вычисления зависимости

v ( t ) - скорости

от времени – можно бесконечно продолжать. В математике эта операция назы- вается интегрированием. Возьмем определенный интеграл в пределах от нуля до t от обеих частей равенства (2.7а):



v(t) 

dv



v_o

t 

a(t)dt.

0

 

(2.11)

 

Как известно из математики, интеграл от дифференциала dv

равен разно-

сти значений функции v на верхнем и нижнем пределах. Тогда из (2.11) полу- чим:

 

откуда для

 

 

V(t)

 

имеем:

   

v(t) v0

t 

a(t)dt,

0

   

v(t) v0

t 

a(t)dt.

0

 

(2.12)

Для нахождения зависимости

v ( t ) по формуле (2.12) необходимо в каждом

конкретном случае взять интеграл от ускорения по времени.

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2

1. Скорость – производная радиус-вектора по времени (2.1):



v

dt

Направлена скорость по касательной к траектории.

2. Компоненты скорости равны производным соответствующих коорди- нат по времени (2.2):

 

vx      , vy      , vz      .

3. Модуль скорости – производная пути s по времени (2.3):



.

dt

4. Модуль скорости связан с ее компонентами следующим образом (2.4):



 



5. При равномерном движении, т.е. при v

Const,

 

пройденный путь

s12

связан с временем движения t простой формулой (2.5):

 

6. Для произвольного движения путь равен определенному интегралу от модуля скорости по времени (2.6)

n            t2

s12 = lim  viΔti = v(t)dt.

1

Δti 0 i=1          t

7. Ускорение – это производная скорости по времени (2.7):



a

dt

8. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени (2.8):



a             .

dt

 

9. Компоненты ускорения а_х, а_y, а_z равны производным по времени от со- ответствующих компонент скорости (2.9):

 

ax    x             , ay   y             , a

 

и вторым производным по времени от соответствующих координат (2.9а):

 

ax               , ay               , az               .

 

10. Зависимость скорости материальной точки от времени может быть найдена (2.11), если известно ускорение как функция времени:

   

v ( t ) v0

t 

a ( t ) dt.

0

ЛЕКЦИЯ № 3