Потенциальная энергия. Закон сохранения полной механической энергии

§ 1. Консервативные и неконсервативные силы

Консервативные (от латинского conservativus – охранительный) – это та- кие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением материальной точки.

Силы, не обладающие только что названным свойством, называют некон- сервативными.

Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу.

 

Консервативность силы тяжести

Рис. 6.1

Вычислим работу (5.4) силы тяжести mg

 

 

(4.7) при движении материаль-

ной точки массой m из положения 1 в положение 2 по произвольной траекто- рии, изображенной на рис. 6.1 стрелочками. На рисунке дан вид сбоку. При вы- числении работы по формуле (5.4) воспользуемся тем, что сила тяжести

mg const.

Это позволяет вынести ее за знак интеграла. Оставшийся интеграл

от вектора ds

дает, очевидно (рис. 6.1), вектор

s12. Затем, расписав скалярное

произведение



gS₁₂ =

gs12

cos

, выразим

s12

cos

через разность высот h1

h2.

Изложенная программа реализована следующим образом.

2  

2   

 2 

A12       Fds

 1

mgds

1

mg ds=

1

mgs12

mgs 12сosα

mg  h1  h 2

mgh1       mgh 2.

Ясно, что при любой траектории ответ будет таким же. Значит, сила тяжести консервативна, так как ее работа не зависит от выбора траектории, а определяется лишь начальным и конечным положением материальной точки:

 

A12

mgh 1

mgh 2.

(6.1)

 

Неконсервативность силы трения

Вычислим теперь работу (5.4) силы трения (4.9) при движении материаль- ной точки m из положения 1 в положение 2 по произвольной траектории, изо- браженной на рис. 6.2.

На этом рисунке изображен вид сверху.

Сила трения всегда направлена против скорости, следовательно, при вы- числении работы можно воспользоваться тем, что косинус угла между силой

трения

Fтр

и ds всегда будет равен минус единице.

2

m         v

ds

Fтр

Известно, что

пройденный путь.

s12        ds –

1

 

Cos  -1

Модуль силы трения по- стоянен. Это позволяет вынести

Fтр

за знак интеграла. Теперь

1

Рис. 6.2

под интегралом, в отличие  от

2 предыдущего случая (вывод формулы (6.1)), остается   ска-

лярная величина ds. Интеграл от скаляра ds дает путь s12, который, очевидно, зависит от траектории. Реализуем эту программу:

 

2   2                                      2                               2

A12

Fтр ds

1

Fтр ds сos

1

Fтр ds

1

Fтр    ds

1

Fтр

s12.

 

Ответ зависит от выбора траектории, значит, сила трения неконсерва- тивна.

§ 2. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия может быть введена только для поля консерва- тивных сил.

Так как их работа не зависит от траектории, а зависит только от начально- го и конечного положений материальной точки, то эту работу можно записать в виде разности двух чисел: одно – W_П1 – будет зависеть от начального положе- ния тела, второе – W_П2 – от конечного положения тела.

 

                       ,                                 (6.2)

где W_П1 – потенциальная энергия тела в положении 1; W_П2 – потенциальная энергия в положении 2.

Работа в потенциальном поле сил равна убыли потенциальной энергии.

Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии W_n(r)

Для нахождения конкретного вида зависимости W_П(r) необходимо вычислить

 

работу

A12



2  

F r

1



Ds.

 

В частности, для однородного поля тяжести, где

F m g, используя (6.1), получим:

Wn

 

mgh .                                    (6.3)

 

Если F

G m1m2

r2

 

– гравитационная сила, то

 

Wn r

G m1m2. r

 

(6.4)

 

Если F

k q1q2

r2

 

– кулоновская сила то

 

Wn r

k q1q2

r

 

.                                (6.5)

Если F

kупрx

– сила упругости (4.8), то

 

Wn x

.                              (6.6)

 

 

§ 3. Закон сохранения механической энергии

Сначала получим закон сохранения механической энергии для одной мате- риальной точки, движущейся в поле консервативных сил. Работа этих сил, с

одной стороны (5.10), равна приращению кинетической энергии материальной точки:

A₁₂ = W_k2 – W_k1.

С другой стороны (6.2), та же работа равна убыли потенциальной энер- гии материальной точки:

A12

Wп1

Wп2

 

Исключая

A12

из записанных выше выражений, получим:

 

 

или

Wп1

 

Wk1

Wп2

 

Wп1

Wk2

 

Wk2

Wk1 ,

 

Wп2 .

 

(6.7)

 

Полученное равенство означает, что в поле консервативных сил сумма ки- нетической и потенциальной энергии материальной точки остается посто- янной, т.е. сохраняется.

Сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки назы- вается ее полной механической энергией W:

 

Wk       Wп       W.

(6.8)

 

Полная механическая энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

Полная механическая энергия системы материальных точек

Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой матери- альных точек, полная механическая энергия:

 

v2    1  N

W         i               Wп i,k

Wk     Wп.                 (6.9)

2 i, k 1

i k

 

Первый член в формуле (6.9) – это кинетическая энергия системы, которая равна сумме кинетических энергий материальных точек, входящих в систему. Второй член дает потенциальную энергию взаимодействия материальных точек системы между собой. В нем под знаком суммы стоит W_{п i, k} – потенциальная энергия взаимодействия i-й материальной точки с k-й материальной точкой.

В формуле (6.9):

Wk – кинетическая энергия системы;

W_п – потенциальная энергия взаимодействия всех частиц системы между собой.