Движение жидкости изображают с помощью линий тока.

Линии тока – это линии, касательные к ко-

v         v торым совпадают по направлению с вектором скорости частиц (рис. 10.1).

Линии тока не прерываются и не пересека- ются, их густота пропорциональна скорости те- чения жидкости.

 

Рис 10.1

Трубка тока – это часть потока жидкости, ограниченная линиями тока (рис. 10.2).

S₁

S₂

 

V1                                                                                                            V₂

 

 

Рис. 10.2

При стационарном течении жидкости трубка тока со временем не изменя- ется по форме, и частицы жидкости не проникают через боковую поверхность трубок. Если жидкость идеальна, то в каждой трубке тока скорость постоянна. Если жидкость несжимаема, то через два различных сечения трубки тока прой-

дет одинаковый объем жидкости: V1           V2 .

Объем жидкости, протекающий за время

через сечение S1 (рис. 10.2),

равен V1

S1v1

t, где v₁ – скорость течения жидкости в месте сечения S₁.

Объем жидкости, протекающий за время

через сечение S2 (рис. 10.2),

равен V2

S2 v 2

t, где v2 – скорость течения жидкости в месте сечения S2.

Тогда:

S1v1 t

S2v2 t.

Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид:

 

S1v1

S2v2

const

.                           (10.1)

 

Откуда следует, что

v1: v2

S1: S2, т.е. скорость течения жидкости в трубе

переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы.

 

§ 3. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью стацио- нарного течения идеальной несжимаемой жидкости и ее давлением.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости.

 

 

F n                                                

p      ,           (10.1а)

               S                где

 

F

– нормальная сила;

– площадь пластины, помещенной в

              n

жидкость.

– Единица давления – паскаль.

Рис 10.3

1 Па

1 Н

1 м2

Выделим в стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости труб- ку тока. Рассмотрим стационарное течение жидкости, ограниченной трубкой

тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1

l ₁

и S2

(рис. 10.4).

Рис 10.4



В сечении S1

В сечении S2

– давление

– давление

p1, высота

p2, высота

h1, скорость течения

h 2, скорость течения

v1 .



v2 .

За малый промежуток времени жидкость перемещается от сечений S1 и

S

2

и

1

S2  к сечениям ^' S^'. Из механики известно (см. (6.12)), что приращение пол-

ной механической энергии незамкнутой системы равно работе внешних сил:

 

W2 W1      Aвнеш,                                   (10.2)

 

здесь W1 – полная механическая энергия всей рассматриваемой нами жидкости,

заключенной в выделенной трубке тока между сечениями S1 и S2;

W2 – полная механическая энергия той же жидкости, но уже через проме-

1

2

жуток времени t, теперь эта жидкость заключена между сечениями S' и S'.

S

и

1

Так как течение стационарно, то полная механическая энергия той части

рассматриваемой нами жидкости, что заключена между сечениями

'     S2, за

промежуток времени t не изменится. Поэтому приращение полной механиче- ской энергии всей рассматриваемой нами жидкости будет равно разности пол-

ных механических энергий объемов жидкости

ΔV1

S1 l

и ΔV2

S2 l 2

(см. рис. 10.4). Так как жидкость несжимаема, то

ΔV1

ΔV2

ΔV. Масса жид-

кости, заключенная в каждом из этих объемов, также одинакова и равна

Δm ρΔV , где – плотность жидкости.

Найдем работу А_внеш, совершаемую силами давления, приложенными к се-

чениям S1 и S2:

 

A внеш

F1 l 1

F2 l 2

p 1S1 l 1

p 2 S2  l 2

p1ΔV1

p2 ΔV2

p1 p2

ΔV . (10.3)

 

При выводе формулы (10.3) мы учли, что работа силы F2 отрицательна, так как она направлена в сторону, противоположную течению жидкости, затем вы- разили силы F1 и F2 через давления р1 и р2 (в соответствии с определением дав-

ления 10.1а) и, наконец, учли, что

ΔV1

ΔV2

ΔV.

Теперь найдем полные механические энергии W₁ и W₂. Для W₁ имеем:

Δmv 2

W1                      1

2

Δmgh 1.                              (10.4)

Для W₂ запишем аналогичное выражение:

Δmv 2

W2                     2

2

Δmgh 2.                                (10.5)

 

Подставляя (10.4), (10.5) и (10.3) в (10.2), получим:

Δmv 2

(  2

2

Δmgh 2)

Δmv 2

(  1

2

Δmgh 1)

(p1

p2)Δ V.

 

(10.6)

 

Поделив выражение (10.6) на V и учитывая, что жидкости, получим:

Δm/ΔV

ρ – плотность

ρv

2

2    ρgh

2       2

2

ρv

1    ρgh

2       1

 

Перенесем члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, полу- чим уравнение:

ρv

2

1    ρgh

2       2

2

ρv

p 2

1      2

 

ρgh 2

 

p2.

 

Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

 

v 2

gh p

2

const .                             (10.7)

 

Выражение (10.7) выведено швейцарским физиком и математиком Д. Бер- нулли (работал в Петербургской академии наук) и называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли представляет собой выражение закона сохранения энергии применительно к стационарному течению идеальной несжимаемой жидкости.

 

В этом уравнении: gh – гидростатическое давление, 2

давление, р – статическое давление.

– динамическое

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости, то уравнение Бернулли позволяет определить скорость потока жидкости.

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса.

Уравнение Бернулли используется, например, для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

 

 

§ 4. Вязкость жидкости

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальной жидкости оказывать сопротивление движению одной части жидкости относительно другой. При пе- ремещении слоев жидкости, движущихся с разными скоростями, возникают си- лы внутреннего трения, направленные вдоль соприкасающихся слоев. Причи- ной внутреннего трения является перенос частицами жидкости импульса. В ре-

зультате, более медленно движущийся слой жидкости ускоряется, а более бы- стрый слой замедляется.

Сила внутреннего трения будет тем больше, чем больше площадь поверх- ности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения

жидкости при переходе от слоя к слою. На рис. 10.5 условно  изображены

соприкасающиеся слои жидкости,

F тр

v2  v1

движущиеся с неодинаковыми скоро-

 

стями

v2 и v1

. Величина

называ-

 

1

 

 

Рис. 10.5

ется градиентом скорости и показыва- ет, как быстро меняется скорость в на- правлении, перпендикулярном направ- лению движения слоев.

 

Модуль силы внутреннего трения равен:

 

Fтр

η v S,                                     (10.8)

z

 

где – динамический коэффициент вязкости.

Коэффициент вязкости зависит от температуры жидкости и различен для разных сред. Например, при температуре 20^оС коэффициенты динамической вязкости равны:

- для воды: = 0,001 Па с;

- для воздуха: = 0,000017 Па с;

- для глицерина: = 0,85 Па с.

Характер течения вязкой жидкости определяется безразмерным числом, ко- торое называется числом Рейнольдса:

 

 

 

где – коэффициент вязкости;

– плотность жидкости;

R = ρ<v>L,

e

η

 

(10.9)

< v > – средняя скорость течения;

L – линейный размер, в котором наблюдается неоднородность скорости. Например, при движении шара в жидкости таким размером является диа-

метр шара, при движении жидкости в трубе – диаметр трубы и т.д.

Число Рейнольдса определяет переход от ламинарного течения к турбу- лентному. Обычно турбулентное течение возникает при R_е > 10³. При этом си- ла сопротивления уже не зависит от вязкости. В этом случае обмен импульсами между слоями происходит в результате активного «перемешивания» жидко- стей, а не в результате диффузии, как при ламинарном течении.

При больших R_е сопротивление сильно зависит от формы тела. Обтекае- мую форму, уменьшающую сопротивление, придают многим движущимся предметам: самолетам, автомобилям, ракетам и т.д.

 

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 10

1. При изучении движения жидкостей пользуются физическими моделями:

- несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинако- ва и не изменяется со временем;

- идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствуют силы трения.

2. Движение жидкости называется течением.