Элементы релятивистской динамики

§ 1. Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью v. Система движется со скоростью V относительно K (рис. 12.1).

 

 

	V
m     K'

x'

 

Рис. 12.1

 

Найдем компоненты скорости материальной точки в соответствии с (2.2), применив преобразования Лоренца (11.4):

 

 

vx

 

vy                                          .                   (12.1)

 

vz

Здесь для преобразования dx, dy, dz и dt мы использовали прямые преобра- зования Лоренца (11.4а).

Так как из (2.2) следует, что:

v' = dx'; v'

 

= dy'; v'

 

= dz';

 

 

(12.2)

x

 

то из (12.1) и (12.2) следует, что:

dt'

y dt'

z dt'

vx    v'x

1 V

V,

v'x

c2

 

 

v y

V'x

,.                          (12.3)

 

 

v z

1     v'x

 

 

Формулы (12.3) – это формулы релятивистского преобразования скоро- стей.

По этим формулам мы можем найти компоненты скорости материальной

точки в системе К, если известны компоненты ее скорости в системе

K ^/.

Преобразования скоростей при переходе от системы К к системе K /

отли-

чаются от формул (12.3) только знаком перед V в знаменателях этих формул.

При V << c формулы (12.3) переходят в формулы (11.2), по которым пре- образуются скорости в механике Ньютона.

Вернемся к ситуации, изображенной на рис. 11.2 и найдем скорость света

v

x

vx  в системе К, если его скорость в системе  K / '

Теперь мы применим

v

x

для этой цели первую из формул (12.3), после подстановки '

получим:

c в которую,

 

vx c V  c V

1 V c 1 V c2                       c

c V c.

c V

c

 

Как видим, полученный результат находится в согласии с принципом по- стоянства скорости света. Этого и следовало ожидать, так как формулы (12.3)

релятивистского преобразования скоростей были получены на основе преобра- зований Лоренца (11.4).

 

§ 2. Релятивистская динамика

Законы релятивистской механики должны выглядеть одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. быть инвариантными относительно преоб- разований Лоренца. Вид уравнений движения, которые в релятивистской меха- нике приходят на смену ньютоновским уравнениям (4.3), получил в 1906 году немецкий физик М. Планк.

 

Релятивистский импульс

В классической механике, при v << c импульс тела равен:

 

p mv.

 

В релятивистской механике, которая описывает движения тел со скоростя- ми, близкими к скорости света,

p

                   .                              (12.4)

 

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем.

Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в клас-

сической:

d 

p

F,

dt

     

но p               !

 

 

(12.5)

 

 

Релятивистское выражение для энергии имеет следующий вид:

 

W            .                                       (12.6)

 

Энергия покоя

При скорости материальной точки v = 0 из (12.6) получим, что:

 

o

mc 2

– энергия покоя.                  (12.7)