Кинематическая часть основной задачи механики

§1. Нормальное и тангенциальное ускорение

Пусть материальная точка движется по произвольной криволинейной тра- ектории (рис. 3.1) с переменной по модулю скоростью.

В этом случае за счет криволинейности траектории скорость будет изме- няться по направлению, кроме того, у скорости изменяется ее модуль. Для ха- рактеристики такого движения полное ускорение удобно представить в виде суммы двух составляющих: нормального ускорения, направленного перпенди- кулярно скорости, и тангенциального ускорения, направленного вдоль вектора скорости.

Введем единичный вектор e v, направленный вдоль вектора скорости:

 

Рис. 3.1

 

Тогда для ускорения из определения (2.7) и рис. 3.1 следует:

  

a v ev  v



ev v

 

(3.1)

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

 

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй член, тангенциальное ускорение,

 

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

 

(3.2)

 

 

(3.3)

Модуль тангенциального ускорения равен, как следует из (3.3):

 

a      .                                     (3.3а)

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного слу- чая равномерного движения материальной точки по окружности (рис. 3.2а, 3.2б, 3.2в):

 

 

ev (t1)

n

 

R                     s

 

v(t1)

 

 

ev (t2)

ev (t1)

ev

s                                                   Рис. 3.2б

R

 

 

ev (t2)

e v (t1)

     

 

v(t2)

ev (t2)

ev             ev

Рис. 3.2а                                              Рис. 3.2в

 

Пусть точка за время t

t2 t1

переместилась из начального положения

в конечное. При этом радиус R повернется  на угол. По определению ради- анной меры угла           измеряется отношением длины дуги к радиусу:

s.

R

При равномерном движении по окружности скорость меняется по направ- лению, но не меняется по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение равно нулю. Чтобы найти нормальное ускорение, воспользуемся формулой (3.2), которую запишем, применив определение производной, в следующем ви- де:

v



a n      dt

v.                          (3.2а)

 

На рис. 3.2б вектор рости за промежуток времени

показывает изменение направления вектора ско-

 

Рисунки 3.2б и 3.2в показывают, как изменяется направление вектора

при совершении предельного перехода (t 0).

Направлен ev, при

по вектору n, перпендикулярному вектору

v: (

значит угол между

ev и

стремится к). Модуль вектора

, как следует из рис. 3.2в, равен в пределе

Следовательно, при t 0 для вектора выражение:

 

, можно записать следующее

n



здесь n - единичный вектор нормали к скорости, n

Теперь подставим полученное выражение для этом запишем как отношение         S/R:



в формулу 3.2а, при

 

 

2

                    ev

a n                                             v



n lim    v

 v

.

n           (3.4)

t        t  0 t                             R

t 0

 

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль равен:

 

.                                (3.4а)

Для движения по произвольной кривой радиус кривизны траектории R не будет величиной постоянной. На рис. 3.3 изображены векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорения для этого случая. Вектор

a n направлен, как и вектор n, к локальному центру кривизны траектории.

Тангенциальное ускорение направлено так же, как скорость, и по модулю, как

следует из (3.3), равно производной от модуля скорости по времени:  a v.

Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора:

 

a=       .

v(t)

a

ev

 

 

n                             v² 

a(t) an a n R

a

a

a

an                                   2     2

n

e_v v

Рис. 3.3

§2. Прямолинейное равнопеременное движение

При прямолинейном движении траектория – прямая линия. Выберем сис- тему координат так, чтобы траектория материальной точки совпадала с осью х. Тогда положение тела в пространстве можно задать одной координатой – x(t). Зависимость x(t) можно получить, проинтегрировав первую из формул (2.2), записанную в виде:

dx vxdt.

Возьмем определенный интеграл от нуля до t от обеих частей этого равен- ства:

x(t)     t

 

 

xo         0

 

Интеграл в левой части равенства берется так же, как и при интегрирова- нии формулы (2.11). В результате интегрирования получим:

 

x(t) x0

t

vx dt.

0

 

(3.5)

 

Для того, чтобы взять интеграл в правой части равенства (3.5), нам необ-

ходимо знать зависимость

vx ( t ). Ее мы найдем, применив к нашему случаю

определение ускорения (2.7). Так как наше движение одномерное, то из (2.7) и (2.9) следует, что

 

 

или

x

 

 

dvx

 

axdt.

 

Проинтегрируем последнее равенство:

 

v(t)

 

 

vo

t

a x dt

0

t

a x dt.

0

 

Так как ax

const

(движение равнопеременное), то ускорение а_х можно

вынести за знак интеграла. Оставшиеся интегралы мы уже научились брать (см. (2.10) и (3.5)), после интегрирования имеем:

 

 

 

откуда для

 

vx ( t )

vx (t)

следует:

vx0

ax (t 0)

ax t,

vx (t)

vx0

ax t.

(3.6)

 

Теперь из (3.5) и (3.6) для x(t) получим:

 

 

X(t)

t

x0    (vx 0

0

t

x t)dt x0

 

t

t

vx 0dt

0

t

t

a x tdt

0

x0 vx 0 dt

0

x tdt

0

x0 vx 0 t

0

 

Оставшийся интеграл табличный, он равен:

 

t

Tdt   .

0             2

 

С учетом этого, окончательная формула для зависимости координаты тела х от времени t для равнопеременного движения приобретает следующий вид:

 

 

x(t) x0

v0 t

.                            (3.7)

 

 

ния.

Здесь мы, как это обычно делают, опустили индексы y скорости и ускоре-

 

Если за время движения знак скорости v(t) в формуле (3.6) не меняется

(т.е. не меняется направление движения), то из (3.7) можно найти пройденный путь. Действительно, при движении в одном направлении путь:

 

s x(t)

x0,

 

выражая

x ( t )

x0 из (3.7) для пройденного пути s, при выполнении отмечен-

ного выше условия, получим:

 

 

S(t)

 

v0 t     .

 

 

(3.8)

 

Если направление движения меняется, для нахождения пройденного пути все время движения и весь путь нужно разбить на промежутки, в течение кото- рых знак скорости постоянен. Затем по формуле (3.8) найти отрезки пройден- ного пути, после чего их сложить.

§3. Как решается основная задача механики материальной точки для произвольного движения

Рассмотрим сначала прямолинейное движение с переменным ускорением. Положение тела по-прежнему задается одной координатой – x(t). Но ускорение,

в отличие от предыдущего случая, не постоянно: ax ax ( t ). Если функция

ax ( t )

нам известна, то как и в предыдущем параграфе, из (2.7) получим:

 

 

 

Однако теперь ускорение

dvx

ax  ( t )

ax (t)dt.

мы не можем выносить за знак интеграла.

Интегрируя

dv_x, получим:

 

t

vx (t) = v0 +

0

 

 

(3.9)

Затем

vx (t)

из (3.9) следует подставить в (3.5), и задача нахождения x(t), в

принципе, решена.

Решение основной задачи механики для произвольного движения матери- альной точки в трехмерном пространстве сводится к нахождению только что описанным способом трех зависимостей: x(t), y(t), z(t). Как видно из прово- дившихся рассуждений, для решения этой задачи необходимо знать три компо- ненты ускорения (a x (t), a y (t), a z (t)), три значения начальных скоростей

(v0x, v0 y, v0z) и начальных координат материальной точки:

x0, y0, z0.

Использование векторных обозначений позволяет все это сформулировать

короче: для нахождения зависимости



условия ( v0 и r0 ).

r ( t )

необходимо знать

a ( t )

и начальные

Таким образом, состояние материальной точки в любой момент времени t

полностью определяют две векторные величины: вектор скорости

v ( t )

и ра-

диус-вектор

r ( t ). Вектор ускорения

a ( t )

определяет зависимость состояния

материальной точки от времени.

Вопрос нахождения зависимости ускорения от времени –

 

a ( t )

– лежит за

пределами кинематики. Этим занимается следующий раздел механики – дина- мика.

Здесь отметим, что при решении основной задачи механики для системы взаимодействующих частиц ускорение обычно зависит от взаимных расстоя- ний между частицами, которые, в свою очередь, зависят от времени. Но в этом случае ясно, что явную зависимость ускорения от времени нельзя получить, по- ка не решена основная задача механики. В таких случаях на основе основного закона динамики материальной точки – второго закона Ньютона – можно полу- чить систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными величина- ми являются зависимости координат материальных точек системы от времени.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3

1. При произвольном криволинейном движении ускорение удобно разло- жить на две составляющие: нормальное и тангенциальное ускорение (рис. 3.3)

 

a an     .

2. Нормальное ускорение a n

определяет быстроту изменения направления

скорости и направлено перпендикулярно скорости (см. (3.2), (3.4), рис. 3.3). Его модуль:

 

an       ,

 

здесь R – локальный радиус кривизны траектории.

3. Тангенциальное ускорение a показывает быстроту изменения модуля скорости и направлено вдоль скорости (см. (3.3), рис. 3.3). Его модуль равен производной от модуля скорости по времени (3.3):

 

a = dv.

τ dt

 

4. Модуль полного ускорения может быть найден по формуле:

 

a=       .

 

5. Для прямолинейного равнопеременного движения зависимости скорости v и координаты х от времени t даются следующими формулами ((2.10), (2.11)):

 

v(t) v0

x(t) x 0

at,

 

v0 t    .

 

6. Путь s при движении с постоянным ускорением в одном направлении находится по следующей формуле:

 

 

s(t)

v0 t    .

 

 

7. Для решения основной задачи механики при произвольном движении

материальной точки в трехмерном пространстве – нахождения

r ( t )

- необхо-

димо знать

a ( t )

и начальные условия:



v0 и r0

(§ 3).

8. Состояние материальной точки в любой момент времени определяется

ее радиус-вектором

r ( t )

и вектором ее скорости

v(t).

ЛЕКЦИЯ № 4