Динамика механической системы

Механическая система – это совокупность взаимодействующих между собой материальных точек (тел).

 

Классификация сил, действующих на материальные точки механической системы

Силы, действующие на механическую сис- тему, разделяют на:

– внешние (P e  ) и внутренние (P j  );

– активные (P a  )

тивные) (N).

и реакции связей (реак-

 

 

 

Рисунок 5.1

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней, в зависимости от того какие тела входят в рассматриваемую систему.

Например, рассмотрим механическую сис-

тему (рисунок 5.1), состоящую из: кривошипа 1; шатуна 2; поршня 3; корпуса 4. Определим внешние и внутренние силы, активные и реакции связей (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Разделение сил, действующих на механическую систему

 

Сила	Система тел
	поршень – шатун – кривошип	корпус – поршень – шатун – кривошип
G	внешняя активная	внешняя активная
P a	внешняя активная	внутренняя активная
x O, y O	внешние реактивные	внутренние реактивные
N 1, N 2	–	внешние реактивные
F тр 1	–	внешняя активная
F тр 2	–	внешняя реактивная

 

 Свойства внутренних сил:

1) так как внутренние силы попарны и равны по величине, то главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю:

i

R j = å P j = 0;

M j = å M

(P j)= 0;

2)

O               O  i

внутренние силы не уравновешены, так как приложены к разным телам.

 

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Для механической системы, состоящей из n материальных точек, можно составить n векторных дифференциальных уравнений движений:

d r

2

m i           i   = P i

dt 2

e +  P j

.                                   (5.1)

i

В проекциях на оси координат необходимо составить 3 n

дифференциальных уравнений. Для случаев, когда

n > 3

решение

уравнений имеют значительные математические трудности.

Избежать этого помогут общие теоремы динамики для механической системы, основывающиеся на понятиях центра масс механической системы и момента инерции.

Центр масс механической системы

Масса механической системы m равна сумме

масс m i

всех точек (тел) входящих в эту систему

(рисунок 5.2):

 

m = å m i   .

 

Рисунок 5.2

Из статики известно (см. раздел I, тема 10, пункт 10.2):

r C

Так как G = mg; G i = m i g, то

= å r i G i  .

G

r    = å r i m i g =

C        mg

= å r i m i   .                       (5.2)

m

Центром масс механической системы называется геометрическая точка C, радиус-вектор которой определяется равенством (5.2).

В проекции на координатные оси получим:

x = å  x i m i;

C         m

y = å  y i m i;

C         m

z = å  z i m i.

C         m

Осевые моменты инерции твердого тела

Характер распределения массы тел относительно плоскости, оси или центра существенно влияет на движение этих тел (системы тел) и характеризуется соответствующим моментом инерции. Ограничимся рассмотрением моментов инерции относительно оси (рисунок 5.3).

Момент инерции тела относительно оси – это сумма произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от оси до точки:

z             i i

z

J   = å m r 2 , [ J   ]= éëкг × м2 ùû .

 

Рисунок 5.3

 

Для тонкостенного кольца (рисунок 5.4) рас-

стояние r i

есть величина постоянная равная R:

z             i  i                      i

J = å m r 2 = R 2 å m

= mR 2.

 

 

 

 

Рисунок 5.4

Момент инерции любого тела можно представить в виде:

z

J = m r 2,

где

r = i z

– радиус инерции – расстояние от оси вращения, на котором необходимо разместить массу тела, чтобы момент инерции размещенной массы равнялся моменту инерции тела

относительно этой оси, м.

Для сложных тел, для которых момент инерции математически выразить затруднительно, определяется и задается именно радиус инерции.

Момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр масс (центральной оси) всегда наименьший.

 

 Теорема Гюйгенса-Штейнера (рисунок 5.5)

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр его масс плюс произведение массы тела на квадрат

расстояния между этими осями:

C

Рисунок 5.5

J z = J z

+ md 2.

Моменты инерции некоторых однородных тел

1. Тонкий стержень (рисунок 5.6)

Предположим, что стержень длиной l имеет постоянное весьма малое сечение F и плотность

r. Его масса определится:

m = r V = r Fl,

Рисунок 5.6

где V – объем тела,

м3.

Разобьем стержень на элементарные участки длиной

D x i, массы

которых

m i = r F D x i  . Тогда момент инерции относительно оси z,

проходящей перпендикулярно стержню через его край, будет равен:

J   = å m x 2  = å r F x 2D x   = r F å x 2D x.

z              i  i                     i   i                     i   i

Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:

l               r Fl 3             l 2 ml 2

J z   = r F ò  x 2 dx =    = r Fl = .

0                   3         3 3

С помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера определим момент инерции

z

стержня J

C

относительно центральной оси z C

параллельной оси z:

 

z

z

J = J - md 2

C

=  ml 2

3

- ml 2

4

ml 2

=

.

12

Момент инерции тонкого стержня относительно оси z:

.

 

Момент инерции тонкого стержня относительно оси дящей через центр масс:

 

z C, прохо-

.

2. Круглый диск малой толщины и цилиндр (рисунок 5.7)

Предположим, что круглый  диск  радиусом R

имеет весьма малую толщину h и плотность r.

m = r V = r hF = r h p R 2.

Разобьем диск на элементарные кольца шириной

 

Рисунок 5.7

D r i, массы которых m i = r hF i.

æ D r ö2     æ D r ö2

F i = p ç  r i   + i   ÷ - p ç  r i   - i   ÷

= 2 p r i D r i;

è   2  ø  è   2 ø

m i = 2 r h p r i D r i.

z             i  i                           i   i                         i   i

J   = å m r 2  = å2 r h p r 3D r = 2 r h p å r 3D r.

Перейдя к пределу суммы, получаем определенный интеграл:

 

R

R                                4

J z    = 2 r h p ò r 3 d r = 2 r h p

= r h p R

2

R

= r h p R 2    =

mR 2

.

4

0                              4        2            2   2

Момент инерции круглого диска относительно оси z:

mR 2

J z =

.                                        (5.3)

2

Для круглого цилиндра (рисунок 5.8) момент

инерции инерций

J z

D J z

определим как сумму моментов элементарных пластинок толщиной

.

D z i, масса которых m i, относительно той же оси,

Рисунок 5.8

пользуясь формулой (5.3):

J z   = D J z   =

i

å  å  m R 2

R 2 å

 

 

 

mR 2

 

=

m i =

2   2           2

Момент инерции круглого цилиндра относительно оси z:

 

.

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Теорема о движении центра масс механической системы

Суммируя уравнение (5.1) получим:

 

å    i    = å i                      i

d 2 r

m          P

dt 2

e + å P j;

 

i

d

2                         

e              j

i

d t 2  å r i m i    = å P i   + å P i  .

 

Согласно свойству внутренних сил

r C m = å r i m i   , запишем:

å P j = 0, с учетом уравнения (5.2)

 

C = å  i

d 2 r

m          P e  ;

dt 2

m a   = å P e    = R e  ,                                  (6.1)

C            i

т.е. произведение массы механической системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил.

 

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

i

Следствие: законы сохранения движения центра масс механической системы.

Если

å P e    = R e    = 0, то центр масс механической системы находится в

покое или движется равномерно прямолинейно:

u C = const.

Теорема об изменении количества движения

Количество движения – векторная мера, характеризующая способность одних тел передавать движение другим телам тоже в виде механического движения.

 

 

Рисунок 6.1

Запишем 2-й закон динамики в диф- ференциальном          виде                для движущейся          под действием силы      P                 материальной точки           M (рисунок 6.1):

m du   = P;

dt

d (m u) = P,

dt

где m u = q

– количество движения материальной точки, кг × м.

с

Тогда получим:

 

 

dq = P.                                          (6.2)

dt

Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, приложенной к этой точке.

Проинтегрировав по времени уравнение (6.2) получим теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральном виде:

ò  dq = ò

(u  )     (t  )

 

Pdt

¾ п ¾ р и t ¾0 =0¾®

q - q 0

= S,

где

 

                            

S = ò  Pdt

(t)

– импульс силы P за промежуток времени t - t 0, Н× с.

 

Изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной к материальной точке, за тот же промежуток времени.

Количество движения механической системы Q равно геометриче-

 

ской сумме количеств движения q i

ее точек:

Q = å q = å m u = d   (å r m).

i             i  i  dt   i i

С учетом выражения (5.2)

r C m = å r i m i

 

, получим, что Q = m dr C

dt

= m u C.

 

 

Найдем производную по времени от Q:

dQ =  d   (m u C  ) =  m d u C dt  dt  dt

 

= ma C.

Согласно выражению (6.1) ma   = å P e    = R e  , тогда:

C            i

dQ   = å P e  .                                       (6.3)

dt      i

P

Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к механической системе.

Следствие: если главный вектор R e

внешних сил

e равен нулю, то

 

 

i

количество движения механической системы Q остается неизменным:

Q = const.

i

Проинтегрировав по времени уравнение (6.3) получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральном виде:

Q - Q 0

= å S e.

Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил приложенных к механической системе, за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении момента количества движения

Пусть материальная точка M движется под действием силы P (рисунок 6.2). Момент этой силы относительно произвольного неподвижного центра O определится:

M O (P)= r ´ P.

 

Момент количества движения L O

Рисунок 6.2

относительно этого же центра будет соответственно равен:

 

                                                                  

M O (m u) = L O = r ´ m u,

или по модулю:

L O = m u r sin (r, m u)= m u h,

é кг × м2 ù

[ L O   ] = ê с ú .

 

Найдем производную по времени от

ë     û

L O:

 

dL O

=   d

(r ´ m u) = dr   ´ m u + r ´ d ( mu  )  = u ´ m u + r ´ ma.

dt dt             dt                 dt

Так как векторы u и m u направлены по одной прямой, то

u   ´ (m u  ) = 0. Тогда, с учетом того что ma =  P, получим:

 

dL O dt

= r ´ P = M O

(P).                        (6.4)

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно произвольного неподвижного центра равна моменту силы, действующей на материальную точку, относительно того же центра.

Кинетический момент механической системы

 

K O     равен

 

геометрической сумме моментов количеств движения

 

L iO

ее точек:

K O    = å L i O    = å r i    ´ m i u i   .

Тогда просуммировав выражение (6.4), с учетом того что

O  i

å M (P j)= 0, получим:

 

 

dK O dt

 

= å M

 

(P e  ).

O  i

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно того же центра.

z  i

Относительно, например, оси z:

dK z

dt

= å M

(P e  ).                                  (6.5)

 

 

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

Определим кинетический момент твердого тела относительно оси его

вращения (оси z), рассмотрев движение точки

M i массой

m i,

принадлежащей телу и движущейся в плоскости перпендикулярной оси z

на расстоянии r i

(рисунок 6.3).

Момент количества движения точки M i

относительно оси z будет равен:

L iz = m i u i r i.

Так как u i = w r i, то

L = m w r 2.

iz      i i

Тогда кинетический момент определится:

K   = å L   = å m w r 2  = w å m r 2  = J w.

Рисунок 6.3

z            iz              i i                    i  i       z

Производная от кинетического момента по времени будет равна:

dK z

=   d

(J w) = J

dw.

dt dt

z            z dt

С учетом уравнения (6.5) получим:

J dw   = å M

(P e  )

 

или

J e = å M

(P e  ).            (6.6)

z dt        z  i

z                  z  i

Произведение момента инерции твердого тела относительно оси вращения на производную по времени от угловой скорости его вращения равно сумме моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно той же оси.

Из выражения (6.6) видно, что момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении, т.е. является мерой инертности тела.