Простейшие движения твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:

– поступательное;

– вращательное;

– плоскопараллельное (плоское);

– сферическое;

– общий случай движения твердого тела.

Из них простейшими являются поступательное и вращательное.

 

 

Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, проведенная в теле остается параллельной своему первоначальному положению.

Поступательное движение характеризуется:

– линейным перемещением (s, r);

– скоростью (u);

– ускорением (a).

Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Проведем из произвольного неподвижного центра O в точки A, B,

A 1,

B 1    радиус-векторы

r A  ,

r B,

r  , r

A

B

1              1

(рисунок 2.1). Из

D OAB

устанавливаем равенство

 

 

r B = r A + AB,

которое будет справедливым во все время движения тела.

Определим         вектор скорости точки B как производную от радиус- вектора этой точки по времени:

dr B

 

=  dr A +  d AB.

Рисунок 2.1

 

 

постоянен по величине и направлению, то

dt dt  dt

Так как вектор AB

d AB = 0, тогда:

dt

dr B

=  dr A

Þ u = u,

dt dt             B     A

т.е. скорости точек A и B геометрически равны.

Определим вектор ускорения точки B как производную от вектора скорости этой точки по времени:

d u B

=  d u A

Þ a = a,

dt  dt              B     A

т.е. ускорения точек A и B геометрически равны.

Установленные свойства позволяют свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки. Обычно рассматривают движение центра тяжести этого тела.

Вращательное движение твердого тела

Вращательное движение – такое движение, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, называемой осью вращения, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета.

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Вращательное движение характеризуется углом поворота j, угловой

скоростью w и угловым ускорением e.

Для задания вращательного движения необходимо знать угол пово- рота j в функции времени t, т.е. уравнение вращательного движения:

j   = f (t  ).                                 (2.1)

 

ë û

Угловая скорость – величина, характеризующая изменение угла поворота j в единицу времени, [ w ]= éc-1 ù :

w   =  dj

dt

= j.                                        (2.2)

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение угловой скорости w по величине в единицу времени, [ e ]= éëc-2 ùû :

e = dw   = d 2 j = j

dt dt 2

.                                  (2.3)

Угловую скорость и угловое ускорение удобно представлять в виде скользящих векторов w и e лежащих вдоль оси вращения (рисунок 2.2 а, б).

Вектор w направлен в ту сторону, откуда видно вращение тела (по

w), происходящее против хода часовой стрелки.

Направление вектора e определяется аналогично.

 

Рисунок 2.2

 

Если векторы w и e сонаправлены, то вращение ускоренное (рисунок 2.2 а).

Если  векторы   w и   e противоположно направлены, то вращение

замедленное (рисунок 2.2 б).

 

 

Определение линейных скорости и ускорения точки M вращающегося тела (рисунок 2.2 а, б)

Так как s = j R, то

u = ds   = d ( jR )  = dj R = w R,

dt   dt    dt

где R – расстояние от рассматриваемой точки вращающегося тела до оси вращения, м.

Скорость любой точки вращающегося тела равняется произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения, т.е.:

u = w R.                                           (2.4)

 

a = du   = d ( wR )  = dw R = e R.                        (2.5)

t    dt    dt    dt

Касательное ускорение равняется произведению углового ускорения тела на расстояние от рассматриваемой точки вращающегося тела до оси вращения.

u 2  (w R)2

a   = =       = w 2  R.                               (2.6)

           

n   r     R

Нормальное ускорение равняется произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от рассматриваемой точки вращающегося тела до оси вращения.

Тогда полное ускорение соответственно определится:

 

a =          =                       = R        .              (2.7)