Движения. Основные задачи динамики

Пусть свободная материальная точка массой m движется по

пространственной кривой под действием сил уравнению (1.1):

 

P 1,

 

P 2, …,

 

P n. Тогда согласно

 

 

  d 2 r

m a = å P i    = R.                                     (2.1)

Так как

a = , тогда получим дифференциальное уравнение движения

dt 2

материальной точки в векторной форме:

d 2 r

m dt 2

= R.                                        (2.2)

Спроецируем уравнение (2.1) на декартовы оси координат (рисунок 2.1):

 

 

d 2 x

ma x = R x;

ma y = R y;

d 2 y

ma z = R z.

d 2 z

Так как

a x =

dt 2

= x;

a y =

dt 2

= y;

a z =

dt 2

= z, тогда получим

дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат:

 

 

(2.3)

 

 

Спроецируем уравнение (2.1) на естественные оси координат (рисунок 2.1):

ma t   = R t  ;

ma n = R n  ; ma b = R b  .

d u         u 2

Так как

a t = dt; a n = r  ;

a b = 0,

 

 

Рисунок 2.1

тогда получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной системе координат:

ì m du = R;

ï dt

m

ï

ï u   2

r

í

ï

t

= R n;

 

 

(2.4)

ï0 = R.

ï   b

î

 

 

Первая (прямая) задача динамики

Зная массу и закон движения объекта (точка, тело, система тел)

определить модуль и направление равнодействующей сил, вызывающих это движение.

Дано: m;

x = f 1 (t);

y = f 2 (t);

z = f 3 (t) .

 

 

Определить: R.

 

R =                  = m               .

 

Направление вектора R определяется направляющими косинусами:

 

 

cos a =

cos a = R x

R

;

 

=

 

cos b =

 

.

 

 

; cos g =                ,

 

где a – угол между векторами R и

b – угол между векторами R и

g – угол между векторами R и

 

R x, град.;

R y, град.;

R z, град.

 

 

Вторая (обратная) задача динамики

Зная массу и силы, действующие на объект, а также начальные условия, определить закон его движения.

Дано: m; R.

Определить:

x = f 1 (t);

y = f 2 (t);

z = f 3 (t) .

 

 

;          ;         .                          (2.5)

 

Сила может быть постоянна по модулю и направлению или  быть

функцией нескольких переменных точки в пространстве, скорости).

R = f (t, r, u)

(времени, положения

Проинтегрировав дважды полученные дифференциальные уравнения

(2.5) и определив постоянные интегрирования (C 1,

C 2, …,

C n), получим

кинематические уравнения движения материальной точки –

x = f 1 (t);

y = f 2 (t); z = f 3 (t).

Интегрирование дифференциальных уравнений прямолинейного движения

 Условие прямолинейности движения

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

 

1. P = const

(сила тяжести вблизи поверхности земли)

ma = P;

m du   = P;

 

d u = P  dt;

 

ò  d u = P   ò  dt.

dt                  m

(u  )

m (t)

 

2. P =

f (t) (силы, при работе машин или механизмов)

ma = P (t);

m du   = P (t);

 

d u = P ( t  )   dt;

ò  d u = 1

ò  P (t) dt.

dt                        m

(u  )

m (t)

 

3. P =

f (x, y, z)

(сила тяготения, сила упругости)

ma = P (x, y, z).

 

К примеру, в проекции на ось x:

m d u x

dt

= P x (x).

Умножив полученное равенство на dx получим:

m d u x dx = P (x) dx;

m u d u = P (x) dx;

u d u = P x (x)  dx;

dt      x

x  x     x

x  x       m

ò

(u  )

u x d u x =

1

 

ò

m (x)

P x (x) dx.

 

4. P =

f (u)

(силы сопротивления среды)

ma = P (u);

m du

=  P (u  );

du =  dt;

 

ò   du = 1

 

ò  dt.

dt               P (u  ) m

(u  ) P (u  )

m (t)