Приведение системы сил к данному центру (точке)

Теорема Пуансо о параллельном переносе силы

Не изменяя кинематического состояния твердого тела, силу, приложенную к нему в какой-либо точке, можно переносить параллельно ей самой в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом M, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую переносится сила.

Пусть в точке A приложена сила P (рисунок 5.1). В произвольную точку O приложим уравновешенные силы P ¢  и

P ¢¢ , причем P

=   P ¢ =   P ¢

и линии

 

Рисунок 5.1

действия сил параллельны. Тогда получим  силу     P ¢  и  пару  сил  (P, P ¢¢),

момент которой равен моменту силы P относительно точки O:

M O   (P)= r ´ P; M O   (P)= OA ´ P; M O   (P)= Ph.

Приведение системы сил к данному центру

Приведем систему n сил к центру O (рисунок 5.2), для этого, на основании леммы Пуансо, перенесем каждую силу

P i   в центр O, добавляя при этом пары

 

Рисунок 5.2

сил, моменты которых равны:

M O   (P i  )= r i    ´ P i  .

В результате приведения к центру O   получим сходящуюся систему

сил, которую можно заменить главным вектором   R *  и получим   n   число

O

присоединенных пар, которые можно заменить одной парой с моментом

 

M

равным главному моменту

(рисунок 5.3):

* системы сил, относительно центра O

i

R * = å P;

M * = å M

(P).

O               O i

Любую систему       сил,                   действующую                на абсолютно твердое тело,  можно                привести к

одному центру и заменить одной силой R *

M

(главный вектор системы сил) и одним моментом

M

O

Рисунок 5.3

* (главный момент системы сил).

 

O

По модулю главный вектор будут равны:

R * и главный момент

* системы сил

R * =                                          ;

 

 

M

=

.

*

O

Хотя, по записи, главный вектор и равнодействующая одинаковы, необходимо различать эти два понятия.

1. Главный вектор не зависит от центра приведения.

2. Главный момент зависит от центра приведения, так как от его положения зависят величина и направление радиус-вектора.

3. Главный вектор заменяет систему сил только в совокупности с главным моментом, т.е. он не эквивалентен данной системе сил.

4. Равнодействующая может быть только у сходящейся системы сил

(однако если

* ^  R *

или

* = 0, то данная система сил

 

M

M

O

O

приводится к равнодействующей).

5. Равнодействующая имеет определенную линию действия.

6. Равнодействующая одна заменяет сходящуюся систему сил, т.е. она эквивалентна ей.

Для того чтобы система сил находилась в равновесии необходимо и

M

O

достаточно чтобы главный вектор нулю:

R * и главный момент

* равнялись

R * = 0;

 

 

M

O

или

 

R * =

* = 0,

 

= 0;

 

M

=

O

*                                                                                           = 0.

 

Пример приведения системы сил к заданному центру O.

Пусть на твердое тело действует пространственная произвольная

система сил (Р 1, Р 2 ,..., Р n  )

(рисунок 5.4 а).

 

Приведем данную систему сил к заданному центру O (центр приведения), используя теорему Пуансо о параллельном переносе силы.

В результате приведения получим систему сходящихся сил

(Р 1¢, Р 2¢,..., Р n ¢ ) и систему векторов моментов  (M 1, M 2 ,..., M n  ), исходящих из

 

центра O (рисунок 5.4 б). По величине моменты будут соответственно равны:

M 1  = P 1 b;

M 2 = P 2 a;

M n = P n a.

 

Рисунок 5.4

 

 

Векторы сил

P 1¢ ,

P 2¢ ,  …,

P n ¢  можно  заменить  одним  вектором,  –

 

главным  вектором R * системы сил (рисунок 5.5 а), – равным их

геометрической сумме:

 

R *  = P ¢+ P ¢ +... + P ¢.

Так как   P 1¢= P 1 ,   P 2¢ = P 2 ,

1    2              n

n            i

P n ¢ = P n  , то:

1    2

R * = P + P

+... + P

= å P.

 

 

Рисунок 5.5

Векторы моментов

M 1,

M 2, …,

M n можно заменить одним вектором,

 

M

O

– главным моментом

геометрической сумме:

* системы сил (рисунок 5.5 б), – равным их

O

1         2

M * = M + M

+... + M

= å M

(P).

n               O i

Тогда получим одну силу R *, приложенную в центре приведения O и

M

O

пару сил с моментом * (рисунок 5.5 в).

 

 

 Возможные случаи приведения сил

При приведении сил, произвольно расположенных в пространстве, к заданному центру O возможны следующие случаи.

 

 Случай I.

R * = 0;

* = 0.

 

M

O

Если главный вектор системы сил и ее главный момент относительно центра приведения равны нулю, то силы взаимно уравновешиваются.

 

 Случай II.

R * = 0;

* ¹ 0.

 

M

O

Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил.

 

 Случай III.

R * ¹ 0;

* = 0.

 

M

O

Если главный вектор системы сил не равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводятся к равнодействующей.

 

 Случай IV.

R * ¹ 0;

* ¹ 0;

R * ^ M *.

 

M

O

O

Если главный вектор системы сил и ее главный момент относительно центра приведения не равны нулю и перпендикулярны между собой (рисунок 5.6 а), то силы приводятся к равнодействующей R.

M

Представим вектор

* парой  сил  (R * , R)

(рисунок 5.6 б), причем

1

1

O

R * = - R *. Модуль момента этой пары будет равен:

 

M * = R * d или M * = R * d.

O                                                            O          1

1

Согласно  третьей  аксиоме,  уравновешенную  систему  сил  (R * , R * ) можно отбросить. Тогда останется только сила R (равнодействующая), линия действия которой проходит на расстоянии d от центра приведения O (рисунок 5.6 в):

M

*

d = O   .

R *

Рисунок 5.6

 

 

 Случай V.

R * ¹ 0;

* ¹ 0;

R * ^ M *.

 

M

O

O

Если главный вектор системы сил и ее главный момент относительно центра приведения не равны нулю и не перпендикулярны между собой, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам, – к силовому винту (динаме), – т.е. к совокупности силы и пары сил, плоскость действия которой перпендикулярна силе.

 

Случаи I – IV возможны при расположении сил в одной плоскости.

6 АНАЛИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ

1. Равновесие пространственной произвольной системы сил, т.е. системы сил, линии действия которых произвольно расположены в пространстве (рисунок 6.1).

 

Рисунок 6.1

å  P ix    = 0;        å M x   (P i  ) = 0; å  P iy    = 0;        å M y   (P i  ) = 0; å  P iz    = 0;        å M z   (P i  ) = 0.

 

Для равновесия пространственной произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси (x, y, z) и суммы моментов всех сил относительно

этих осей равнялись нулю.

 Примечание. Оси, относительно которых составляются уравнения, не должны лежать в одной плоскости и быть параллельны.

 

2. Равновесие пространственной параллельной системы сил, т.е. системы сил расположенных в пространстве, линии действия которых параллельны (рисунок 6.2).

Рисунок 6.2

Пусть линии действия всех сил параллельны оси Oz, тогда: å  P iz = 0; å M x   (P i  ) = 0; å M y   (P i  ) = 0.

 См. рисунок 6.2

Для равновесия пространственной параллельной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось параллельную линиям действия сил (ось Oz) равнялась нулю, и суммы моментов всех сил относительно двух оставшихся осей (x, y) также

равнялись нулю.

 

 

3. Равновесие сходящихся систем сил, т.е. систем сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рисунки 6.3 и 6.4).

 

Пространственная сходящаяся		Плоская сходящаяся
Рисунок 6.3	å  P ix     = 0; å  P iy = 0; å  P iz = 0.	Рисунок 6.4	å  P ix = 0; å  P iy = 0.

 

 См. рисунок 6.3

Для равновесия пространственной сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси (x, y, z) равнялись нулю.

 

 См. рисунок 6.4

Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две координатные оси (x, y или x, z или y, z) равнялись нулю.

4. Равновесие плоской произвольной системы сил, т.е. системы сил произвольно расположенных на плоскости (рисунок 6.5).

Существует III вида (формы) условий равновесия плоской произвольной системы сил.

Рисунок 6.5

Первый вид (основной): å  P ix = 0; å  P iy = 0; å M O   (P i  ) = 0.

Второй вид: å  P ix = 0; å M A   (P i  ) = 0; å M B   (P i  ) = 0, прямая AB ^ Ox.

Третий вид: å M A   (P i  ) = 0; å M B   (P i  ) = 0; å M C   (P i  ) = 0, точки A, B и C Ï одной прямой.

 

I. Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две оси, лежащие в плоскости действия системы сил, равнялись нулю, и сумма моментов относительно любой точки (например точки O), принадлежащей данной плоскости, также равнялась нулю.

 

II. Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на любую ось, принадлежащую плоскости действия системы сил (например ось Ox), равнялась нулю, и суммы моментов всех сил относительно двух любых точек, принадлежащих данной плоскости (например точки A и B), также равнялись нулю.

 Примечание. Прямая AB не должна быть перпендикулярна оси Ox.

 

III. Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно трех произвольных точек, принадлежащих плоскости действия системы сил (например точек A, B и C), равнялись нулю.

 Примечание. Точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

5. Равновесие плоской параллельной системы сил, т.е. системы сил расположенных на плоскости, линии действия которых параллельны (рисунок 6.6).

Существуют II вида (формы) условий равновесия плоской параллельной системы сил.

Пусть линии действия всех сил параллельны оси Oy.

 

 

Рисунок 6.6

Первый вид (основной): å P i y    = 0; å M O   (P i  )= 0.

Второй вид: å M A   (P i  )= 0; å M B   (P i  )= 0, прямая AB Oy.

 

I. Для равновесия плоской параллельной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную линиям действия сил (например Oy), равнялась нулю, и сумма моментов всех сил

относительно какой-либо точки, принадлежащей плоскости действия системы сил (например точки O), также равнялась нулю.

 

II. Для равновесия плоской параллельной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно двух произвольных точек, принадлежащих плоскости действия системы сил (например точек A и B), равнялись нулю.

 Примечание. Точки A и B не должны лежать на прямой параллель- ной линиям действия сил.

ФЕРМА

Ферма – это шарнирно-стержневая, геометрически неизменяемая конструкция. Фермы бывают плоские и пространственные.

Ферма состоит из стержней (обозначенных цифрами) и узлов (обозначенных буквами). Рассмотрим плоскую ферму (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1

 

1, 4, 8, 12 – стержни верхнего пояса.

2, 6, 10, 13 – стержни нижнего пояса.

3, 7, 11 – стойки.

5, 9 – раскосы.

 

Стержень AK называется опорным. Расстояние AB – пролет фермы.

Расчет фермы сводится к определению усилий в опорах фермы и в ее стержнях под действием внешних нагрузок. Для упрощения расчета фермы принимаем некоторые допущения:

1) стержни, из которых состоит ферма, прямолинейны и невесомы;

2) узлы выполнены в виде шарниров без трения;

3) внешние нагрузки приложены к узлам.

Вследствие этих допущений, усилия в стержнях направлены вдоль осей стержней, т.е. стержни работают только на растяжение или на сжатие.

Перед началом расчета фермы необходимо вычислить статическую определимость фермы:

k = 2 m - 3,

где k – число стержней (опорные стержни не учитываются);

m – число узлов.

Если Если

k < 2 m - 3, то ферма нежесткая.

k > 2 m - 3, то ферма статически неопределима.

Существует несколько методов (способов) расчета ферм:

1) метод вырезания узлов (аналитический и графический);

2) метод Риттера (метод сечений);

3) метод Максвелла-Кремоны.

 

 

Леммы о нулевых стержнях

Существуют способы позволяющие определить нагрузку в некоторых стержнях фермы без расчета.

1. Если в незагруженном узле сходятся два стержня

под углом

a ¹ 180°, то усилия в них равны нулю

Рисунок 7.2

(рисунок 7.2):

S 1 = 0;

S 2 = 0.

2. Если в незагруженном узле сходятся три стержня, причем два из них лежат на одной прямой, а третий под углом к ним (a ¹ 180°), то усилие в третьем равно нулю, а усилия в первых двух будут

Рисунок 7.3

равны между собой (рисунок 7.3):

S 1 = S 2;

S 3 = 0.

3. Если в загруженном узле сходятся два стержня под углом a ¹ 180°, причем линия действия внешней силы совпадает с осью одного из стержней, то усилие во втором будет равно нулю, а в первом равно

Рисунок 7.4

внешней силе (рисунок 7.4):

S 1 = P;

S 2 = 0.

Пример. Определить нулевые стержни с помощью лемм (рисунок 7.5).

BK – опорный стержень.

 

Рисунок 7.5

 

Рассматривая поочередно узлы E, G, C, и D получим, что стержни

9, 7, 5, 3 – нулевые, согласно второй лемме.