Центр тяжести. Координаты центра тяжести

Центр параллельных сил

Центр параллельных сил – точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол.

Рассмотрим систему параллель-

ных сил

 

P 1,

 

P 2, …,

 

P n, приложенных в

Рисунок 10.1

точках

B 1,

B 2, …,

B n, приводящуюся к

 

равнодействующей R, приложенной в точке C (рисунок 10.1).

На основании теоремы Вариньона запишем:

M O   (R)= å M O   (P i  )= å r i    ´ P i   .

В свою очередь

M O (R)= r C ´ R;

r    = å r i    ´ P i   .

C           R

Если ввести единичный вектор

получим:

u P i, тогда после преобразований

P i = uP i;

R = å P i    = u å P i    = u R;

r C    ´ R = å r i    ´ P i   ;

r C    ´ u R = å r i    ´ u P i   ;

r C R ´ u = å r i P i    ´ u;

(r C R - å r i P i  )´ u = 0 Þ r C R - å r i P i    = 0;

r   = å r i P i  .

C        R

В проекции на координатные оси получим:

x = å  x i P i;

C         R

y = å  y i P i;

C         R

z = å  z i P i.

C         R

Центр тяжести твердого тела

Вблизи поверхности Земли линии действия векторов сил тяжестей отдельных тел можно считать параллельными, так как на расстоянии 31 м угол между ними равен 0°01¢ .

Центр тяжести тела – фиксированная в данном теле точка, через которую проходит равнодействующая параллельных сил тяжести всех частиц этого тела при любом положении тела. Необходимо отметить, что эта точка не обязательно будет принадлежать самому телу.

Рассмотрим тело произвольной формы с центром тяжести в точке C (рису- нок 10.2). Представим тело, как совокуп-

ность бесконечно малых объемов каждый из которых имеет свой вес G i.

Если тело однородное, то:

V i,

 

Рисунок 10.2

G = g V, G i = g V i  ,

 

Согласно пункту (10.1):

где V – объем тела, м3;

g – вес единицы объема

 

Н/м3.

r   = å r i G i  ,

C        G

или в проекции на декартовы оси координат

x = å  x i G i;

C         G

y = å  y i G i;

C         G

z = å  z i G i,

C         G

где

x i,

y i,

z i – координаты центров тяжестей элементарных объемов, м.

 

Тогда

x = å  x i G i

= å  x i g V i

=  g å  x i V i

= å  x i V i.

C         G      g V     g V       V

x = å  x i V i;

C        V

y = å  y i V i;

C        V

z = å  z i V i.

C        V

Центр тяжести плоской фигуры

Положение центра тяжести плоской фигуры

определяется двумя координатами

x C,

y C.

Разобьем фигуру (рисунок 10.3) на элементар-

ные площадки B i

весом G i

и площадью

F i. Вес

 

Рисунок 10.3

 

где F – площадь фигуры,

фигуры определится по формуле G = n F, а вес каждой площадки G i = n F i,

м2;

n – вес единицы площади фигуры, Н/м2.

 

Тогда

x   = å x i G i

= å x i n F i

=  n å x i F i

= å x i F i  .

C         G      n F

x = å  x i F i  ;

C         F

n F       F

y = å  y i F i,

C         F

где

x i,

y i – координаты центров тяжестей элементарных площадок, м.

 

 

 

Рисунок 10.4

Центр тяжести линии

Определим положение центра тяжести однородного тела, имеющего большую протяженность при сравнительно малой площади поперечного сечения, т.е. линии (рисунок 10.4).

Вес линии выразим формулой G = rL,

где r – вес единицы длины линии, Н/м;

L – длина линии, м.

Разобьем линию на элементарные участки длиной l i

и весом G i = r l i.

 

Тогда

x   = å x i G i

= å  x i r l i

=  r å x i l i

= å x i l i  .

C         G       r L    r L    L

x = å  x i l i;  C     L

y = å  y i l i;  C L

z = å  z i l i,  C                 L

где

x i,

y i,

z i – координаты центров тяжестей элементарных участков, м.

 

Методы определения центра тяжести

Метод симметрии

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

 

2. Метод разбиения (рисунок 10.5)

Сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются:

i

1    2

x = å  x i F i

=  x 1 F 1 + x 2 F 2.

 

C    å F   F + F

Рисунок 10.5

 

3. Метод отрицательных площадей (рисунок 10.6)

Так же, как и в методе разбиения, сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, но отверстия или пустоты представляют в виде «отрицательных» областей.

Например, вместо разбиения фигуры на 4 обычных прямоугольника, ее можно представить

как совокупность двух прямоугольников, один из

Рисунок 10.6

которых имеет отрицательную площадь:

i

1          2

x = å  x i F i

=  x 1 F 1  + x 2 (- F 2 ) .

 

C     å F   F

+ (- F)

Метод интегрирования

Выполняется аналитическое интегрирование или численные методы интегрирования. Используется при наличии у фигуры контура описы- ваемым известным уравнением.

 

5. Метод подвешивания (экспериментальный) (рисунок 10.7)

Основан на том, что при подвешивании тела за какую-либо произвольную точку центр тяжести находится на одной вертикали с точкой подвеса.

Для определения положения центра C тяжести плоской фигуры достаточно подве- сить ее поочередно за две любые точки и

Рисунок 10.7

прочертить соответствующие вертикали, на- пример, с помощью отвеса, и точка пере-

сечений этих прямых соответствует положению центра тяжести фигуры.

 

6. Метод взвешивания (экспериментальный) (рисунки 10.8–10.10)

Этот метод применяется для определения центра тяжести сложных объемных тел.

Пример. Определить центр C тяжести грузовика по заданным его геометрическим параметрам (AB, HD, d).

1. Определим вес грузовика, взвешивая поочередно переднюю ось и заднюю ось.

При этом узнаем  вес, приходящийся на каждую ось грузовика

(G A = - N A и G B = - N B  ). Вес G всего грузовика будет равен

алгебраической сумме:

 

G = G A + G B.

 

2. Определим плоскость действия силы G.

Взвесив заднюю ось (рисунок 10.8), определили модуль реакции

 

 

N B.

Тогда, составив сумму моментов всех сил относительно точки A, получим:

 

Рисунок 10.8

å M A   (P i  )= - G l 1  + N B A B = 0. Откуда определим удаление l 1 плоскости действия силы G от передней оси грузовика (плоскость    xOz): l =  N B AB. 1       G

 

 

3.

Рисунок 10.9 å M H    (P i  )= - G l 2  + N D H D = 0. Откуда определим удаление l 2 плоскости действия силы G от оси (линии действия N H) левой стороны грузовика (плоскость    yOz): l =  N D HD. 2        G

Для определения линии действия силы G взвешиваем одну из сторон грузовика (рисунок 10.9). Тогда:

 

 

 

 

 

Пересечение полученных плоскостей  определяет  прямую ab, на которой лежит центр тяжести C грузовика.

4.

Для определения положения центра тяжести (точки C) на прямой ab, повторим опыт, но при этом расположим грузовик, как показано на рисунке 10.10. При этом:

å M L   (P i  )= - G l 3  + N K d = 0.

 

Тогда определим удаление l 3

 

плоскости действия силы G от линии

 

 

действия N L

(плоскость yOz, которая в плоскости xOz изображена

линией fe):

 

Рисунок 10.10

l = N K d. 3     G Пересечение линий ab и de определяет положение центра C тяжести.

 РАЗДЕЛ II. КИНЕМАТИКА

Кинематика – раздел механики, изучающий движение материальных точек (тел) в пространстве с геометрической точки зрения, без учета их масс и сил вызывающих это движение.

Материальная точка – точка имеющая массу.

Тело конечной массы, размерами и различием движения отдельных точек которого можно пренебречь в условиях данной задачи, принимают за материальную точку.

Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию – геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета. Эта линия называется траекторией точки.

По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и

криволинейные.

Изучение движения точки заключается в определении основных кинематических параметров этого движения: положение точки, ее скорость и ускорение. Эта задача решается различными способами.

Существуют три основных способа задания движения точки:

– векторный;

– координатный;

– естественный.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Векторный способ задания движения

Положение точки M в пространстве определяется радиус- вектором r, проведенным из некоторого неподвижного центра O в данную точку M (рисунок 1.1).

Для определения движения точки задается вектор-функция r аргумента t, которая должна быть

однозначной, непрерывной  и

Рисунок 1.1

дважды дифференцируемой:

r = f (t  ).                                 (1.1)

 

Кривая AB – траектория точки.

Линия, образованная концами переменного вектора, начало которого находится в определенной точке пространства, называется годографом этого вектора.

Следовательно, траектория точки M является годографом ее радиус- вектора r.

Скорость – векторная величина, характеризующая изменение положения точки в единицу времени.

Пусть за промежуток времени D t

точка переместилась из положения

M в положение

M 1 (рисунок 1.1). Отношение вектора перемещения D r к

промежутку времени D t

представляет собой вектор средней скорости

u ср

воображаемого движения точки по хорде

MM 1:

u ср

= D r.

D t

Вектор средней скорости

u ср

направлен так же, как вектор

D r. При

D t ® 0

его направление стремится к направлению касательной,

проведенной из точки M в сторону движения точки.

Для определения вектора скорости точки в момент времени t

переходим к пределу:

u = lim D r    = d r    = r ¢ .                                (1.2)

           

D t ®0  D t dt

Таки образом, вектор скорости u определяется как первая производная от радиус-вектора r по времени t.

Вектор скорости u направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

 

Годограф скорости. Ускорение

Годограф скорости – линия, которую описывают                точки концов векторов скорости,

отложенных из одного центра O 1

(рисунок 1.2).

 

Рисунок 1.2

Уравнения годографа скорости показаны в пункте 1.2.

 

Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по величине и направлению в единицу времени.

Пусть за промежуток времени D t

точка переместилась из положения   M в

положение

M 1 , и вектор скорости

 

Рисунок 1.3

изменился на величину (рисунок 1.3).

D u = u 1 - u

Разделив приращение вектора скорости D u

на промежуток времени

D t, получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

a ср

=  D u.

D t

Вектор среднего ускорения будет сонаправлен с направлением

приращения вектора скорости

D u. Покажем это на годографе скорости.

Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения

a ср, когда

D t ® 0, является вектором ускорения точки в данный момент времени t:

a = lim D u

=  du;

D t ®0

D t dt

Учитывая, что скорость является вектор-функцией от времени

u = f (t) и что u = dr

dt

 

, получим:

a =  du =  d æ  dr ö =  d r = ¢¢

è ø

2

 

dt dt ç  dt ÷

dt 2

r.                           (1.3)

 

Вектор ускорения в данный момент равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен по касательной к годографу скорости в сторону вогнутости траектории.

 

Координатный способ задания движения

Положение точки в пространстве определяется координатами x, y, z,

являющиеся функциями времени (рисунок 1.4):

ï

x =  f 1 (t) ü

y =  f 2 (t  )ý .                                       (1.4)

ï

þ

z = f 3 (t)

Функции

f 1 (t),

f 2 (t) и

f 3 (t)

 

 

Рисунок 1.4

должны быть однозначными, непре- рывными и дважды дифференци- руемыми.

Уравнения (1.4) являются уравнениями движения точки, а так же уравнениями траектории точки в параметрической форме, так как зависят от параметра t. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, необходимо

из уравнений (1.4) исключить параметр t:

 

t = f (x) Þ

y =   f 2 éë  f (x)ûùïü

ý

.

z =   f 3 éë  f (x)ùû ïþ

 

 

Пример. Определить уравнение траектории точки, если она движется

в плоскости xy по закону:

x = 4 t 2;

y = 10 t 2.

 

Тогда уравнение траектории определим разделив уравнения друг на друга:

y = 10 t 2

Þ y = 2,5 x,

x 4 t 2

или подстановкой, выраженного из уравнения

x = 4 t 2

значения

t 2, в

уравнение

y = 10 t 2:

 

 

x = 4 t 2

 

ç 4 ÷

y = 10æ  x ö

è ø

 

Þ t 2 = x;

4

 

Þ y = 2,5 x.

Координатный и векторный способы взаимосвязаны: r

= xi

+ yj + zk,

 

где i, j, k   – единичные векторы (орты), направленные вдоль

соответствующих осей x, y, z;

x, y, z – проекции радиус-вектора r на неподвижные координатные оси.

 

Скорость точки

Согласно теореме: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, – запишем:

u   =  dr

=  dx i

+ dy

j + dz k

= u i + u

 

j + u k;

dt dt  dt  dt

x        y        z

u = dx = x;

u = dy = y;

u = dz = z.                (1.5)

x   dt

y   dt

z   dt

Проекции скорости точки на неподвижные декартовые оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

По модулю скорость будет равна:

 

u =                 =

.                      (1.6)

 

)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами (рисунок 1.4):

cos(u, u x

cos(u, u

= cos a = u x  ;

u

)= cos b = u y  ;

y

cos(u, u z

)= cos g

u

= u z.

u

Уравнения годографа скорости (рисунок 1.2) в параметрической форме можно записать в виде:

ì x Г

ï

ï

í  y Г

=  u x   (t  ) =  x (t  );

= u y   (t) = y (t);

z

î  Г =  u z (t) =  z (t).

ï

Исключив параметр t, получим уравнения годографа скорости:

)ùû ýï

u x =

f 1 (t  ) ü

 

u = f

é  f (u

)ùü

u y = f 2 (t)ý;

z     3   þ

u   =  f (t)ï

t   =   f (u x  )

Þ   y

u z =

2 ë  x

f 3 éë  f (u x

ûï.

þ

 

 

Пример. Определить уравнение годографа скорости, если точка

движется в плоскости xy по закону:

x = 5 t 2 + 2 t;

y = 2 t 3 -1.

 

Определим проекции скорости на координатные оси:

(  )

u = dx   = 5 t 2 + 2 t ¢ = 10 t + 2;

x   dt

( )

u = dy   = 2 t 3 -1 ¢ = 6 t 2.

y   dt

Таким образом, получили уравнения годографа скорости в параметрической форме:

ìï u x    = 10 t + 2;

î

y

íï u

= 6 t 2.

 

Исключив параметр t, получим уравнение годографа скорости, т.е.

уравнение вида u y =

f   (u x  ):

u - 2

 

æ  u - 2 ö2

t =   x       

Þ u y = 6ç   x   ÷ ;

10

u  = 3(u x

è 10 ø

- 2)2

.

y           50

Ускорение точки

Так как

a = du  , а u = u i + u j + u k, тогда

dt             x        y        z

a = d u x i

+ d u y

j + d u z k.

dt    dt    dt

a =  d u x x   dt

 

= x;

a =  d u y y dt

 

= y;

a =  d u z  z dt

 

= z.              (1.7)

Проекции ускорения точки на неподвижные декартовые оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

По модулю ускорение будет равно:

 

a =                 =

. (1.8)

 

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами (рисунок 1.5):

cos(a, a x

= cos a = a x;

)

a

cos(a, a y

= cos b = a y;

)

a

Рисунок 1.5

cos(a, a z

)= cos g

= a z.

a

Естественный способ задания движения

Для задания движения естественным способом необходимо знать (рисунок 1.6):

1) траекторию точки (AB), т.е. уравнение

траектории

x = f (  y, z);

 

 

Рисунок 1.6

2) начало отсчета (точка O) с указанием направления движения («+» и «»);

3) закон движения

s = f (t)

– дуговая координата в функции времени,

 

которая должна быть однозначна, непрерывна и дважды дифференцируема.

Следует различать путь и дуговую координату.

Дуговая координата определяет положение точки на траектории относительно начала отсчета (точки O, см. рисунок 1.6).

Путь – расстояние пройденное точкой за некоторый промежуток времени вдоль траектории.

Допустим, за время t 1 точка переместилась из начального положения M 0

в положение

M 1 (рисунок 1.5), а за время t 2

из M 1 в точку O (таблица 1.1).

 

Таблица 1.1 – Отличие дуговой координаты от пути

 

Время	Перемещение	Путь	Дуговая координата
t 0	0	0	s = s 0 = OM 0
t 1	M 0 ® M 1	M 0 M 1	s = s 1 = OM 1
t 2	M 1 ® O	M 1 O	s = 0
t 1 + t 2	M 0 ® M 1 ® O	M 0 M 1 + M 1 O	s = 0

При естественном способе задания движения вводится система взаимно перпендикулярных осей (t, n, b), движущихся вместе с точкой и меняющих свое положение в пространстве – естественная система координат (рисунок 1.7).

Совокупность взаимно перпендику- лярных плоскостей, определяемых осями этой системы, называют подвижным трехгранником.

t, n, b – единичные векторы (орты) соответствующих осей:

Рисунок 1.7

b = t

´ n.

Орт t направлен по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты.

Орт   n направлен перпендикулярно касательной  оси   t   во внутрь вогнутой части траектории.

Орт b   перпендикулярен t и n, и направлен в ту сторону, откуда виден кратчайший переход от t к n против хода часовой стрелки.

При движении точки, траектория всегда находится в соприка- сающейся плоскости, образованной осями t и n.

 

Скорость точки

u   =  dr

×  ds =  ds ×  dr

 

.                                (1.9)

dt ds dt ds

Вектор  D r

D s

 

направлен также, как

вектор D r

(рисунок 1.8). При

D s ® 0

 

Рисунок 1.8

его направление стремится к направ- лению касательной, проведенной из точки M в сторону увеличения дуговой координаты s. Модуль этого вектора стремится к единице:

 

dr = lim D r = lim MM 1 = 1.

                                                                                          

ds D s ®0 D s M 1® M MM 1

 

 

Таким образом, вектор dr

ds

имеет модуль, равный единице, и

направлен по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой

 

координаты. Вектор dr

ds

является ортом t этого направления:

 

dr = t.

ds

Тогда уравнение (1.9) примет вид:

u = ds t.

dt

Производная   ds

dt

 

есть проекция вектора скорости на касательную ось

t, т.е. определяет алгебраическую величину