Момент силы относительно центра, точки и оси

В дальнейшем «центром» будем называть точку в пространстве, а

«точкой» – точку на плоскости.

Момент силы относительно центра

– векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, проведен- ного из этого центра в точку приложения силы, на вектор силы:

M O (P)= r ´ P.

Рисунок 3.1

Вектор

M O   (P)

(рисунок 3.1) приложен

 

в центре O и направлен перпендикулярно плоскости OAB, в такую сторону, чтобы, смотря ему навстречу, видеть силу P стремящуюся вращать плоскость OAB против хода часовой стрелки.

По модулю момент силы P относительно центра O будет равен:

 

 

где h – плечо, м.

M O   (P)= r ´ P

= r P sin (r, P)= P r sin a = P h,

Размерность момента силы [H × м].

Момент силы относительно точки – произведение модуля силы на

плечо:

M A (P)= ± Ph

 

– момент силы P относительно точки A.

 

Плечом (h) называется кратчайшее расстояние от точки (полюса), относительно которой определяем момент, до линии действия силы.

Момент силы считается положительным «+», если мы условно видим обход заданного вектора силы P вокруг полюса (точки A) против хода часовой стрелки, и отрицательным «» – если по ходу часовой стрелки.

Рисунок 3.2

Пример. Определить моменты сил P 1 и P 2 относи- тельно точки A (рисунок 3.2). M A   (P 1 )= P 1 h 1 ; M A   (P 2 )= - P 2 h 2 .

 

 

 Свойства момента силы относительно точки (центра):

1) значение момента силы не изменится, если силу переместить вдоль линии ее действия в любую точку;

2) момент силы относительно точки (центра) равен нулю, если линия действия силы проходит через полюс.

 

Момент силы относительно оси (рисунок 3.3). Чтобы найти момент

силы P относительно оси z, необходимо спроецировать силу на плоскость p (плоскость вращения), перпендикулярную оси вращения   z,  и

найти момент полученной проекции   P 1

 

Рисунок 3.3

относительно точки O пересечения оси с плоскостью.

Момент силы относительно оси – произведение модуля проекции

P 1         силы P на плоскость p, перпендикулярную оси z, на ее плечо h,

относительно точки O пересечения оси с плоскостью:

M z    = P 1 h.

 

 Момент силы относительно оси равен нулю, когда:

1) линия действия силы параллельна оси, относительно которой определяется момент силы;

2) линия действия силы пресекает ось, относительно которой определяется момент силы;

т.е. момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости.

 

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равняется геометрической сумме моментов сил, составляющих эту систему, относительно того же центра:

M O   (R)= å M O   (P i  )

– относительно центра O.

 

 

Момент равнодействующей системы сил относительно точки или оси равен алгебраической сумме моментов сил, составляющих эту систему, относительно той же точки или оси:

M A   (R)= å M A   (P i  ) – относительно точки   A;

M x   (R)= å M x   (P i  )

– относительно оси x.

Пример (рисунок 3.4). Пусть к телу приложена сила P. Определить момент этой силы относительно точки A.

Момент  силы P относительно  точки A

будет равен:

 

 

Рисунок 3.4

 

 

Так как

M A (P)= r ´ P.

P = P x + P y, то

M A (P)= r ´ P x + r ´ P y.

 

По модулю момент силы P относительно точки A будет равен:

M A (P)= - P × l.

Если силу P разложить на составляющие, то момент этой силы относительно точки A будет равен алгебраической сумме моментов этих составляющих относительно той же точки:

M A (P)= - P x × h + P y × d = - P cos a × h + P sin a × d.

 

Уравнение линии действия равнодействующей плоской системы сил

Пусть равнодействующая R плоской системы сил приложена в точке A (рисунок 3.5). Вектор R расположен таким

образом, что его проекции

 

                                       

R x   и R y   на

 

 

 

Рисунок 3.5

координатные оси x и y направлены в стороны положительных направлений соответствующих осей.

Согласно теореме Вариньона:

M O   (R)= R y x - R x y;                                (3.1)

R y x - R x  y - M O   (R)= 0.                             (3.2) Уравнение (3.2) есть уравнение линии действия равнодействующей.

 

Пример. Определить уравнение линии действия             равнодействующей R плоской

сходящейся системы сил (P 1, P 2 , P 3 , P 4 ),

2

4

приложенных в точке   A (рисунок 3.6), если

P 1  =10 Н,

P = 8 Н,

P 3 =18 Н,

P =14 Н,

 

 

Рисунок 3.6

a = 3 м, b = 4 м.

Сначала определяем проекции равно- действующей на координатные оси:

R x    = å P i x    = P 1  - P 3  =10 -18 = -8 Н;

R y   = å P i y   = - P 2  + P 4  = -8 +14 = 6 Н.

Далее определяем сумму моментов всех сил относительно произволь- ной точки, например, относительно начала координат (точки O):

å M O   (P i  )= - P 1 b - P 2 a + P 3 b + P 4 a;

å M O   (P i  )= -10 × 4 - 8× 3 +18× 4 +14 × 3 = 50 Н × м.

Так как

å M O   (P i  )= M O   (R), согласно формуле (3.1), получим:

å M O   (P i  )= R y x - R x y;

50 = 6 x - (-8)  y;

6 x + 8 y - 50 = 0;

3 x + 4 y - 25 = 0.                                    (3.3)

 

Таким образом, получили уравнение (3.3) линии действия равнодействующей R, которая находится на расстоянии d от моментной точки O:

=

M O   (R)

d          .

R

По величине сила R будет равна:

 

R =           =              = 10 Н.

 

Тогда кратчайшее расстояние d от моментной точки O до линии

действия силы R составит:

=                          .=                                                                                                        =

M O   (R  ) 50

d                      5 м

R   10

ТЕОРИЯ ПАР СИЛ

Сложение двух параллельных сил

Равнодействующая R двух параллельных сил

 

P 1 и

 

 

P 2 одного направления (рисунок 4.1) имеет такое же

 

Рисунок 4.1

направление, а ее модуль равен алгебраической сумме модулей слагаемых сил:

R = P 1  + P 2 .

Точка C приложения равнодействующей делит отрезок AB на части обратно пропорциональные модулям сил:

AC =  P 2.

BC P 1

По свойству пропорций:

P 1

 

= P 2 =

 

P 1  + P 2

BC AC BC + AC

Откуда следует равенство:

P 1  =   P 2

=   R  .                                    (4.1)

BC AC AB

Равнодействующая R двух параллельных сил

 

P 1 и

 

 

P 2 противоположного направления (рисунок 4.2) имеет

 

Рисунок 4.2

направление силы, большей по модулю, и модуль, равный разности модулей этих сил:

R = P 1  - P 2 .

Точка C приложения равнодействующей лежит на продолжении отрезка AB за точкой приложения большей силы:

P 1  =   P 2

=   R  .                                    (4.2)

BC AC AB

Пара сил. Момент пары сил

Пара сил – совокупность двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны (рисунок 4.3).

Пара сил – это самостоятельный, не

 

Рисунок 4.3

 

1) плоскостью действия;

2) направлением вращения;

упрощаемый элемент статики, харак- теризующийся:

3) модулем (величиной) момента пары.

P 2  = - P 1 ; P 1 P 2 .

M (P 1, P 2 )= A B ´ P 2  = B A ´ P 1 ;

M (P 1, P 2 )= P 1 h = P 2 h,

где h – кратчайшее расстояние между линиями действия сил, состав- ляющих пару, м.

Размерность момента пары сил [H × м].

Момент пары сил (P 1, P 2 )

 

изображают вектором M, который

 

перпендикулярен плоскости действия пары и направлен в ту сторону, откуда видно пару сил стремящуюся вращать плоскость ее действия против хода часовой стрелки.

Момент пары сил считается положительным «+», если пара сил

стремится вращать плоскость в сторону противоположную ходу часовой стрелки, и отрицательным «» – если в сторону хода часовой стрелки.

Момент положителен «+» 

Момент отрицателен «–» 

 

Свойства пар

Проекция пары на любую ось равна нулю, что следует из определения пары сил.

Не изменяя действия пары на твердое тело, пару можно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия, переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия пары, а так же изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление момента пары.

Таким образом, момент пары сил, есть вектор свободный, т.е. не имеющий определенной точки приложения.

 

Сложение пар, лежащих в пересекающихся плоскостях

Заменим сходящиеся силы в точках A и B их равнодействующими (рисунок 4.4):

 

Так как

 

 

= и P 2

P 1 + P 2 = R;

P 1¢+ P 2¢ = R ¢.

=   P 2¢ , то

 

R   =   R ¢ .

M 1 (P 1, P 1¢)= A B ´ P 1 ;

M 2 (P 2 , P 2¢)= A B ´ P 2 .

Две пары (P 1, P 1¢)  и

 

 

Рисунок 4.4

 

При сложении нескольких пар получим:

M = å M i   .

(P 2 , P 2¢),  лежащие  в  пере- секающихся  плоскостях,

можно заменить одной эк- вивалентной парой  (R, R ¢),

момент которой равен геометрической сумме мо- ментов слагаемых сил:

M = M 1 + M 2;

M = A B ´ P 1  + A B ´ P 2 .

Если тело под действием системы пар находится в равновесии, то момент результирующей пары равняется нулю:

M = å M i    = 0.

В проекции на оси координат получим:

ï

ìå M i x    = 0;

ï

íå M i y    = 0;

ïîå M i z    = 0.

Если пары расположены в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. Момент результирующей пары определится как алгебраическая сумма моментов пар:

M = å M i   .