Дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки

Второй закон динамики для несвободной материальной точки по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета имеет вид:

ma = P a + N,                                     (4.1)

где

P a – результирующий вектор активных сил, приложенных к точке, Н;

N – результирующий вектор реактивных сил, Н;

a – вектор абсолютного ускорения, м/с2.

P a + N = R.

Рассмотрим движение точки относительно неинерциальной (подвижной) системы отсчета, которая в свою очередь движется относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета, т.е. рассмотрим сложное движение точки (рисунок 4.1). В этом случае вектор абсолютного ускорения a определится по формуле:

a = a r + a e + a к.

Тогда уравнение (4.1) примет вид:

m (a +  a +  a) =  P a +  N;

r     e    к

ma = P a + N + (- ma) + (- ma),

r                                       e                 к

Рисунок 4.1

где (- ma e  ) =  Ф e

(- m a к  ) = Ф к

– переносная сила инер- ции, Н;

– кориолисова сила инер-

ции, Н.

 

                                                            

ma = P a + N + Ф + Ф.                               (4.2)

r                              e      к

Выражение (4.2) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

Сравнивая уравнения (4.1) и (4.2) видно, что:

1) в инерциальной системе отсчета ускорение возникает под действием динамической причины (под действием сил);

2) в неинерциальной системе отсчета ускорение возникает вследствие динамической и кинематической причины, т.е. под действием сил и за счет движения самой системы отсчета.

 

Частные случаи относительного движения материальной точки

В случаях 1–5 в относительном движении u r ¹ 0 и a r ¹ 0.

 

1.
Переносное движение – неравномерное вращение вокруг непод- вижной оси w e ¹ 0; e e ¹ 0.

Ф = Ф ^t + Ф n;

e      e      e

Ф ^t = ma ^t = m e h; Ф n = ma n = m w 2 h;

e          e         e              e          e           e

Ф к    = m a к    = 2 m w e u r   sin (w e  , u r  ).

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

ma = P a + N + Ф ^t + Ф n + Ф.

r                              e      e       к

2.
Переносное движение – равномерное вращение вокруг непод- вижной оси w e = const.

Ф ^t = 0; Ф = Ф n;

e                    e      e

e          e          e

Ф n = ma n = m w 2 h;

Ф к    = m a к    = 2 m w e u r   sin (w e  , u r  ).

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

ma = P a + N + Ф n + Ф.

r                              e      к

3. Переносное движение – поступательное неравномерное криво-

линейное w e = 0;

a ^t ¹ 0;

a n ¹ 0.

 

e

e

                                                                                  

Ф = Ф ^t + Ф n  ; Ф = 0;

e      e      e           к

t           t         d u

d 2 s

Ф e = ma e

=  m e

= m e  ;

dt    dt 2

n         n       u   2

Ф e = ma e

= m e  .

r

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

ma = P a + N + Ф ^t + Ф n.

r                              e       e

4. Переносное движение – поступательное равномерное криво-

линейное w = 0; u = const; a n ¹ 0.

e             e                       e

Ф ^t = 0; Ф = Ф n  ; Ф = 0;

e                     e      e           к

n         n       u   2

Ф e = ma e

= m e  .

r

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

ma = P a + N + Ф n.

r                              e

5. Переносное движение – поступательное равномерное прямо-

линейное w = 0; u = const; a n = 0.

e             e                       e

Ф e = 0;

 

Ф к = 0.

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

ma r = P + N.                                      (4.3)

a

Сравнивая выражения (4.1) и (4.3) можно сделать вывод: всякая система отсчета, движущаяся поступательно равномерно прямолинейно, является инерциальной.

6. Случай относительного покоя или относительного равновесия

Точка находится в покое относительно подвижной системы отсчета

когда u r = 0;

a r = 0.

 

ma r = 0;

 

Ф к = 0.

Тогда уравнение (4.2) примет вид:

e

0 = P a   + N + Ф

– уравнение относительного покоя.