Принцип д’аламбера (принцип кинетостатики)

Пусть несвободная материальная точка   M  массой m

движется под действием активной силы тогда:

P a (рисунок 8.1),

 

Рисунок 8.1 где (- ma) = Ф

ma = P a + N.                         (8.1)

Запишем выражение (8.1) в виде:

P a + N + (- ma) = 0,

– сила инерции, равная по модулю произведению массы

точки на ее ускорение (Ф = ma) и направленная в сторону, противоположную ускорению.

Тогда получим принцип д’Аламбера для несвободной материальной точки:

P a + N + Ф = 0.                              (8.2)

В любой момент движения материальной точки, действующие на нее, активная сила и реакция связи уравновешиваются условно приложенной силой инерции.

 Для механической системы

При движении механической системы геометрическая сумма активных сил, реакций и условно приложенных сил инерций равна нулю:

å P a    + å N   + å Ф   = 0,                             (8.3)

 

где

å P a

i                i             i

–

i

геометрическая сумма активных сил, под действием которых движется механическая система, Н;

å  N i   – геометрическая сумма реактивных сил (реакций связей), возникающих от действия активных сил, Н;

å Ф i

– геометрическая сумма условно приложенных сил инерций, Н.

Принцип д’Аламбера – это условный, формальный прием, позволяющий рассматривать задачи динамики методами статики.

Рисунок 8.2

 

 

При поступательном движении (рисунок 8.2 а) прикладывается только сила инерции Ф, равная по модулю:

Ф = ma.

 

При вращательном движении (рисунок 8.2 б), относительно оси проходящей через центр масс тела, прикладывается только момент сил

инерций

M Ф, направленный противоположно e и равный произведению

момента инерции тела ускорение e тела:

J O, относительно оси O его вращения, на угловое

 

O

M Ф = J e.

 

При плоскопараллельном движении (рисунок 8.2 в) прикладываются сила инерции (к центру масс тела) и момент сил инерций, направленные противоположно ускорениям и равные:

Ф = ma C;

C

M Ф = J e,

 

где

a C – ускорение центра масс тела,

м/с2;

J C   –  момент инерции тела относительно центральной оси,

перпендикулярной плоскости движения тела,

кг × м2.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА)

В общем случае на систему могут быть наложены внешние и внутренние связи. На практике эти связи реализуются в виде шарниров, нитей, стержней, поверхностей, направляющих и т.д., но их можно представить в виде геометрических линий, математических поверхностей, плоскостей, которые описываются уравнениями или неравенствами.

 

Классификация связей

1. Стационарные связи

Связи, которые не меняются с течением времени, называются стационарными. Уравнения этих связей не зависят явным образом от времени.

 

 

Рисунок 9.1

 

составить систему уравнений:

Пример. Кривошипно-шатунный механизм (рисунок 9.1).

Для определения произвольного положения КШМ необходимо определить положения трех точек (O,

A, B), для этого необходимо

 

 

x 1 = y 1 = y 3 = 0;

2     2

x 2 + y 2 - r 2 = 0;

 

(x    -  x   )2  +  y 2  -  l 2  = 0 .

3    2         2

 

В эти уравнения явно не входит параметр t, поэтому этот вид связи можно считать стационарным.

2. Удерживающие связи

Удерживающая связь – это связь, при которой в любой момент движения точка остается на поверхности связи. Уравнения удерживающих связей определяется равенствами, а неудержи- вающих связей – неравенствами.

Положение точки A (рисунок 9.2) при данном

Рисунок 9.2

виде связи определится неравенством:

1     1

x 2 + y 2 - r 2 £ 0,

 

т.е. данная связь является неудерживающей.

 

3. Идеальные связи

Связи без трения (см. раздел I, тема 1, пункт 1.3).

 

4. Голономные и неголономные связи

Голономными называются связи, которые накладывают ограничение только на перемещение точек механической системы.

В уравнения этих связей входят только координаты точек системы и не входят производные от них (проекции скоростей).

Неголономными называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек механической системы.

В уравнения неголономных связей помимо координат точек системы входят их скорости.

 

Возможные перемещения. Принцип Лагранжа

Возможным перемещением (d r) называется всякое воображаемое бесконечно малое перемещение точек системы, которое могли бы совершить эти точки, в данный момент из данного положения, не нарушая наложенных на них связей.

В виду малости перемещение d r

совпадает с приращением дуговой

координаты d s

(см. раздел II, тема 1, пункт 1.3 – скорость точки).

Понятие возможного перемещения точки или механической системы есть понятие чисто геометрическое и не зависит от действующих на точку или систему сил, а зависит только от характера наложенных связей.

Действительное перемещение это одно из возможных перемещений.

Перемещение, при котором точка или система покидает наложенные связи, не является «возможным».

 

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно чтобы сумма элементарных работ активных сил на возможных перемещениях механической системы равнялась нулю:

i

å d А a = 0.                                       (9.1)

Возможные перемещения (виртуальные, бесконечно малые) – то, что можно совершить не нарушая связи.

 

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ (ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА- ЛАГРАНЖА)

При движении механической системы сумма элементарных работ активных сил и условно приложенных сил инерций на возможных перемещениях механической системы равна нулю:

i                 i

å d А a + å d А Ф = 0.                               (10.1)

ЛИТЕРАТУРА

1. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 1. Статика и кинематика: учеб. пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – 11-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 672 с.

2. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 2. Динамика: учеб. пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.

– 9-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 640 с.

3. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики Т. 1. Статика и кинематика. Т. 2. Динамика / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р Меркин. – 11-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 736 с.

4. Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики / Н.Н. Бухгольц. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика системы материальных точек: учеб. пособие. – 7-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 336 с.

5. Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики. / Н.Н. Бухгольц. В 2-х ч. Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки: учеб. пособие. – 10-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 480 с.

6. Лачуга Ю.Ф. Теоретическая механика / Ю.Ф. Лачуга, В.А. Ксендзов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Колос, 2005. – 576 с.

7. Никитин, Н.Н. Курс теоретической механики: учебник / Н.Н. Никитин.

– 8-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 720 с.

8. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – 20-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2010. – 416 с.

9. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики. Ч. I Статика. Кинематика. Ч. II Динамика / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – 15- е изд., стер. – М.: КноРус, 2010. – 608 с.

 

 

Учебное издание

 

 

Букаткин Рустем Николаевич,

Корнеев Дмитрий Витальевич