Плоскопараллельное движение тела

Плоскопараллельное движение (плоское) – движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Исходя из этого, движение тела можно описать движением плоской фигуры, получающейся в сечении этого тела одной из параллельных плоскостей.

В свою очередь, движение фигуры в своей плоскости можно описать движением произвольного отрезка AB, принадлежащего этой фигуре.

В общем случае плоское движение представляется совокупностью поступательного движения вместе с некоторым полюсом, и вращательного

– поворот тела вокруг этого полюса.

Таким образом, плоское движение тела определяется уравнениями:

ì x A   =

ï

í  y A   =

f 1 (t  ); f 2 (t);

 

 

(3.1)

î

ï j = f (t),

3

в которых

x A =

f 1 (t) и

y A =

f 2 (t)

– характеризуют поступательную часть

движения, а j =

f 3 (t) – вращательную.

 

 

Допустим, что тело пере- местилось из положения AB в

положение

A 1 B 1

(рисунок 3.1).

 

 

Рисунок 3.1

При этом поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная, т.е. угол поворота   (по величине и             на- правлению), – не зависит (j 1 = j 2). Если за полюс взять точку A,

то положение произвольной  точки

B определится равенством

r B = r A + r BA  .                                         (3.2)

Определим вектор скорости точки B как производную от радиус-

вектора r B

по времени:

 

dr B

 

=  dr A +  dr BA;

dt dt dt

u B = u A   + u BA  .                                       (3.3)

Вектор скорости некоторой точки B плоской фигуры равен геометрической сумме скорости полюса (точки A) и скорости этой точки (точки B) в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

u BA

– вектор относительной (вращательной) скорости точки B вокруг

полюса A.

Вектор скорости

 

u BA

 

всегда направлен перпендикулярно AB в

сторону угловой скорости w и определяется векторным произведением:

u BA = w ´ r BA  .                                        (3.4)

По модулю относительная скорость u BA

будет равна:

u BA = w ´ r BA

= w r BA sin (w, r BA);

90°

 

где l AB – длина отрезка AB, м.

u BA = w l AB,                                        (3.5)

 

Зачастую удобно пользоваться следующей теоремой (рисунок 3.2):

При плоском движении проекции абсолютных скоростей двух точек плоской фигуры на линию, проходящую через эти точки, алгебраически равны.

Так как вектор

u BA

всегда перпендикуля-

 

Рисунок 3.2

рен AB, то проецируется на эту линию (ось x) в точку. Тогда, спроецировав уравнение (3.3) на линию AB, получим:

u Bx =  u Ax;

u A cos b = u B cos a.

 

В любой момент движения плоской фигуры, в ее плоскости существует точка скорость которой, в данный момент времени, равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Для определения положения МЦС необходимо восстановить перпендикуляры к векторам абсолютных скоростей точек плоской фигуры, проведенных из этих точек. На пересечении этих линий будет находиться МЦС (точка P), т.е. точка, относительно которой в данный момент времени тело совершает мгновенный поворот. Мгновенная угловая скорость тела соответственно определится:

w = u A = u B

.                                     (3.6)

AP BP

Различные случаи определения положения МЦС

Случай 1 (рисунок 3.3). Восстанавливаем перпендикуляры из этих точек A и B к векторам скоростей этих точек, на пересечении которых находится МЦС (точка P).

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

 

Случаи 2 и 3 (рисунки 3.4 и 3.5). Если векторы скоростей точек A и B параллельны между собой, то для определения МЦС должны быть известны их модули. Проводим линии через точки A и B, перпендикулярные векторам скоростей и линию соединяющую концы

векторов u A

и u B

– на их пересечении будет находиться МЦС (точка P).

 

Случай 4 (рисунок 3.6). Если векторы скоростей точек A и B плоской фигуры равны по модулю и параллельны между собой, то МЦС находиться в бесконечности (AP =¥; BP = ¥), а мгновенная угловая скорость равна:

w = u A

=  u B

=  u A

=  u B

= 0,

AP BP ¥ ¥

т.е. тело совершает мгновенное поступательное движение.

 

Случай 5 (рисунок 3.7). Если тело катится без скольжения по некоторой неподвижной плоскости, то МЦС (точка P) будет находиться в точке соприкасания с этой неподвижной плоскостью. Мгновенная угловая скорость тела определится соответственно: w = u A = u B = u C   = u D  . AP BP CP DP

Рисунок 3.7

Теорема об ускорениях точек плоской фигуры

Определим ускорение произвольной точки B плоской фигуры, взяв за полюс точку A (рисунок 3.8). Для этого уравнение (3.3) представим в виде:

u B = u A   + w ´ r BA  .                                     (3.7)

Производная по времени от выра- жения (3.7) будет равна:

d u B =  d u A +  d (w   ´  r BA);

dt  dt       dt

a = a

+ dw   ´ r

+ w ´ dr BA  .

 

Рисунок 3.8

B     A   dt

Так как dw   = e

dt

BA

и  dr BA

dt

dt

= u BA, то:

 

BA         BA

где e ´ r = a ^t

a B = a A + e ´ r BA + w ´ u BA,

– вращательное ускорение точки B во вращении вокруг полюса A, по модулю равное:

a ^t = e ´ r = e r sin (e, r)= e l;                    (3.8)

 

 

w ´ u

 

= a

n

BA    BA

BA             BA       BA              BA         AB

90°

– центростремительное ускорение точки B во вращении вокруг полюса A, по модулю равное:

a n = w ´ u = wu sin (w, u)= wu = w 2 l

 

.            (3.9)

BA               BA          BA                BA            BA         AB

90°

Тогда ускорение точки B определится уравнением:

a = a + a ^t + a n  ,                                (3.10)

 

где

 

t         n

a + a = a

BA    BA    BA

B     A    BA    BA

– ускорение точки B в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса A, по модулю равное:

a BA =                     =

= l AB

. (3.11)

Таким образом, ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:

a B = a A + a BA  .                                     (3.12)

a

и

n

Угол m между векторами BA   a BA определится из равенства:

a ^t   e

a

n

tg m =   BA

BA

=.                                  (3.13)

w 2

 

 

Мгновенный центр ускорений

При плоском движении тела в плоскости его движения существует точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ)

Положение МЦУ можно определить, если известны: ускорение какой- либо точки тела, а также величины угловой скорости и углового ускорения этого тела.

Для этого, используя формулу

tg m = e  ,

w 2

вычисляют величину угла m. Далее, под углом m

к вектору известного абсолютного ускорения a A

точки A, в сторону углового ускорения e, откладывают отрезок AQ (рисунок 3.9), равный:

Рисунок 3.9

AQ = a A

.                 (3.14)

 

Ускорение произвольной точки B этого тела в данный момент времени равно ее ускорению во вращательном движении вокруг МЦУ, при этом ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений:

a A = a B  ,

AQ BQ

а направлены они под тем же углом m к прямым (AQ и BQ), соединяющим эти точки и МЦУ.

 

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Относительное, переносное и абсолютное движения точки

Сложным называется движе- ние, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или более движениях.

Например, катящейся шар (из

положения A в положение M) по палубе         плывущего парохода (ри-

Рисунок 4.1

сунок 4.1).

Движение рассматриваемой точки (тела) относительно подвижной системы              отсчета называется относительным. Характеризуется

траекторией относительного движения, относительной скоростью

u r,

относительным ускорением

a r.

Движение подвижной системы отсчета и неизменно связанной с ней рассматриваемой точкой (тела) относительно неподвижной системы отсчета называется переносным. Характеризуется траекторией пере-

носного движения, переносной скоростью u e, переносным ускорением

a e.

Движение рассматриваемой точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Характеризуется траекторией

абсолютного движения, абсолютной скоростью

u a  , абсолютным

ускорением

a a.

Абсолютное движение складывается из относительного и переносного:

r a = r r + r e  .                                         (4.1)

 

Теорема о сложении скоростей

Рассмотрим сложное движение точки M в случае, когда подвижная система отсчета связана с твердым телом, совершающим произвольное движение в пространстве (рисунок 4.2). Неподвижную систему отсчета обозначим O 1 x 1 y 1 z 1, подвижную – Oxyz.

Вектор абсолютной скорости точки M

определится:

u = dr a;

a

u   =  dr r

dt

+ dr e  .             (4.2)

a   dt dt

Рассмотрим отдельно производные и dr e.

dt

dr r dt

Рисунок 4.2

Представив r r

получим:

в  виде  (x r i

+ y r j + z r k),

 

dr r

= æ  dx r i

+ dy r

j + dz r k ö + æ  di x

                                           

 

+ dj y

 

+ dk z

ö .      (4.3)

dt ç

 

dt   dt    dt

÷ ç dt r

dt r

dt r ÷

è                           ø è                           ø

В правой части уравнения (4.3) первое слагаемое представляет собой относительную скорость:

æ  dx r i

+ dy r

j + dz r k ö = u

i + u

j + u

k = u

.            (4.4)

ç  dt   dt    dt ÷

rx        ry        rz         r

è                           ø

 

Орты i, j, k оставаясь неизменными по модулю, вращаются вокруг

мгновенной оси

W с угловой скоростью

w, поэтому производная от

 

e

e

соответствующего орта по времени определяет вращательную скорость его конца. Вектор этой скорости будет равен векторному произведению

dj

dk

вектора w e

и вектора соответствующего орта:

 

                                                                                         

di

dt = w e ´ i;

dt = w e

´ j;

dt = w e

´ k.                  (4.5)

Тогда, в правой части уравнения (4.3) второе слагаемое будет равно:

æ  di x

 

+ dj y

 

+ dk z

ö = w

´ (x i

+ y j + z k)= w

 

´ r.      (4.6)

 

ç  dt r

dt r

dt r ÷

e      r        r        r            e   r

è                           ø

 

С учетом (4.4) и (4.6), производная

 

(4.3), будет равна:

 

dr r, определяемая выражением

dt

dr r =  u

+ w ´ r,                                   (4.7)

dt r      e   r

где w e ´ r r = u MO

– скорость точки M при ее вращении вокруг мгновенной

оси

W, проходящей через  полюс O, в переносном

 

e

движении.

Так как вектор r e

связан с неподвижной системой отсчета

O 1 x 1 y 1 z 1, то

dr e dt

= u O

 

– скорость полюса O в переносном движении, м/с.

Подставляя (4.7) в (4.2), получим:

u = u + w ´ r + dr e  ;                               (4.8)

a     r      e  r   dt

где u MO + u O = u e

u a = u r + u MO   + u O  ,                                   (4.9)

– переносная скорость.

Тогда уравнение (4.9) примет вид:

u a = u r   + u e  .                                      (4.10)

Таким образом, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей.

Модуль абсолютной скорости будет равен:

 

u a =

.                     (4.11)

 

Теорема о сложении ускорений

Вектор абсолютного ускорения точки M определится:

a = d u a.

a    dt

Тогда уравнение (4.8) примет вид:

    d u d   (w e    ´  r r  ) d 2 r

a a   = r    +             + e   .                            (4.12)

dt      dt      dt 2

Рассмотрим производные (4.12), отдельно.

d u r dt

и   d  (w e    ´  r r  ) ,  входящие  в  уравнение

dt

Представив u в виде u

i + u j + u k, производная d u r, с учетом

r

(4.5), будет равна:

rx        ry        rz                                            dt

du d   (u r x i

+ u ry j + u rz k)

r   =                           ;

dt              dt

d u r = æ  d u rx i

                    

+ d u ry j + d u rz k ö + æ  di u

 

+ dj u

 

+  dk u   ö ;

dt ç

dt     dt     dt

÷ ç dt rx

dt ry

dt rz ÷

è                               ø è                              ø

d u r

= (a i

+ a j + a k)+ w

´ (u

 

i + u

 

j + u

k);

dt   rx        ry        rz            e      rx        ry        rz

d u r =  a

+ w ´ u

 

,                                (4.13)

dt  r      e    r

где a r

– относительное ускорение точки M.

Рассмотрим производную по времени от векторного произведения

w e ´ r r:

d   (w e    ´  r r  ) = d w e    ´ r   + w

´ dr r  .

dt      dt

r     e  dt

Так как

d w e =  e

 

, а производная

dr r

согласно (4.7) равна u

+ w ´ r,

 

получим:

dt  e

d   (w e    ´  r r  ) =  e

dt

´ r + w

 

´ (u

 

+  w   ´  r);

r      e   r

dt       e   r      e      r      e   r

d   (w e    ´  r r  ) =  e

 

´ r + w ´ u

+  w   ´ (w

´ r).          (4.14)

dt       e   r      e    r      e       e  r

С учетом (4.13) и (4.14) уравнение (4.12) примет вид:

             d 2 r

a a    =  a r    +  w e   ´ u r    +  e e   ´  r r    +  w e   ´ u r    +  w e   ´ (w e   ´  r r  ) +       e,

dt 2

или в такой последовательности

 

       d 2 r                        

a a    =  a r    +     e    +  e e   ´  r r    +  w e   ´ (w e   ´  r r  ) + 2(w e   ´ u r  ),          (4.15)

dt 2

d 2 r  

где

   e

dt 2

= a O

– ускорение полюса O в переносном движении;

e

e   r     MO

e ´ r = a ^t

– вращательное ускорение точки M во вращении вокруг мгновенной оси W, проходящей через полюс

 

e       e  r        MO

w   ´ (w   ´  r) =  a n

O, в переносном движении;

–

e

центростремительное ускорение точки M во вращении вокруг мгновенной оси W, проходящей

через полюс O, в переносном движении;

2(w e   ´ u r  ) =  a к – кориолисово ускорение. С учетом этого получим:

a = a + a   + a ^t + a n + a,                         (4.16)

a     r     O     MO     MO    к

где a   + a ^t + a n = a – переносное ускорение точки M.

O     MO    MO     e

Тогда уравнение (4.16) примет вид:

a a = a r   + a e + a к  .                                   (4.17)

Равенство (4.17) выражает теорему Кориолиса о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного переносного и кориолисова ускорений.

Модуль абсолютного ускорения, в общем случае, определяется методом проекций. Для этого определяем алгебраические суммы проекций всех ускорений на координатные оси:

a ax =  a rx +  a ex +  a кx; a ay =  a ry +  a ey +  a кy; a az =  a rz +  a ez +  a кz.

Тогда модуль абсолютного ускорения будет равен:

 

a

a   =                 .

 

Модуль и направление вектора кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение

a к, стремится изменить направ-

ление вектора относительной скорости u r

угловой скорости w e.

в направлении переносной

По модулю кориолисово ускорение будет равно:

a к    = 2 w e u r   sin (w e  , u r  ).

Чтобы найти направление вектора Кориолисова ускорения

необходимо мысленно перенести вектор переносной угловой скорости w e

в  рассматриваемую  точку M, а затем следовать одному из правил (рисунок 4.2).

Правило векторной алгебры

Вектор a к

перпендикулярен векторам w e и

u r и направлен в ту сторону, откуда виден

кратчайший переход от w e

часовой стрелки.

к u r

против хода

 

 

 

Рисунок 4.2

Правило Жуковского

Вектор относительной скорости u r проеци-

руем в плоскость p перпендикулярную оси

переносного вращения z и поворачиваем полученную проекцию сторону переносного вращения (по w e) на 90°.

u пр в

 

 Кориолисово ускорение равно нулю, если:

1) w e = 0, т.е. переносное движение поступательно;

2) u r = 0, т.е. относительная скорость в данный момент времени равна нулю;

3)  sin (w e  , u r  )= 0,  т.е.  в  случае  когда  (w e  , u r  )= 0  или  (w e  , u r  )= 180°,

иначе – когда вектор u r w e  .

 РАЗДЕЛ III. ДИНАМИКА

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных точек (тел) в зависимости от действующих на них сил.

Динамика делится на два подраздела:

– динамика материальной точки;

– динамика механической системы.