Статически определимые и неопределимые задачи. Составные конструкции. Рычаг

Статически определимые и статически не определимые задачи

а) статически определимая задача	б) статически неопределимая задача
Рисунок 8.1

Статически определимые задачи – задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил (рисунок 8.1 а).

Статически неопределимые задачи – задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т.е. задачи, для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками (рисунок 8.1 б).

 

Определение реакций опор составных конструкций

Составной называется конструкция, пред- ставляющая собой совокупность отдельных твердых тел, связанных между собой. Связи, соединяющие ее части называют внутренними (рисунок 8.2). Для рассмотрения равновесия такой  конструкции  ее  расчленяют,  заменяя

Рисунок 8.2

внутренние связи соответствующими реакциями, и    рассматривают равновесие каждой           части

отдельно, а так же конструкции целиком (при необходимости).

Реакции внутренней связи шарнира C, приложенные к телам AC и CB, попарно равны по модулям и противоположны по направлениям, так как выражают действие и противодействие. Векторным равенствам

x C ¢  = - x C   и

y C ¢  = - y C

соответствуют алгебраические равенства

x C ¢  = x C   и

y C ¢  = y C  , применяемые при решении задачи.

Рассмотрим равновесие балки CB (рисунок 8.3):

å M B   (P i  )= - x C    × 2 b + P × b = 0;

å M C   (P i  )= R B   sin a × 2 b - P × b = 0;

å M K    (P i  )= y C    × C K - P × b = 0.

 

 

Рисунок 8.3

tg a = CK

2 b

Þ CK = 2 b tg a;

x = P; y   = P;

                                                                 

R   = P.

C   2    C

2 tg a

B  2sin a

Рассмотрим равновесие балки AC (рисунок 8.4):

å M A   (P i  )= M A    + y C ¢

× a = 0;

 

 

Рисунок 8.4

å P i x    = x A    - x C ¢

å P i y    = y A    + y C ¢

= 0;

= 0.

M A = - y C ¢

 

× a = -

P × a

2 tg a;

x A = x C ¢

= P;

2

y A = - y C ¢

= - P.

2 tg a

 Проверка. Составим уравнение моментов для всей конструкции (рисунок 8.2) относительно точки C:

å M C   (P i  )= M A    - y A   × a - P × b + R B   sin a × 2 b = 0.

Подставим в полученное уравнение значения выраженных величин:

 

- Pa - æ - P ö  a - P × b +

 

P sin a × 2 b = 0;

 

2 tg a ç 2 tg a ÷

2sin a

è       ø

- P × a

2 tg a

+ P × a

2 tg a

 

- P × b + P × b = 0

 

Þ 0 = 0.

 

 

Рычаг. Устойчивость при опрокидывании

Рычаг – твердое тело, имеющее непод- вижную ось вращения, находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпен- дикулярной этой оси (рисунок 8.5).

Точка пересечения плоскости действия сил и неподвижной оси вращения рычага

Рисунок 8.5         называется опорной точкой (точка O).

Если рычаг находится в покое, то алгебраическая сумма моментов

всех активных сил, приложенных к рычагу, относительно опорной точки равна нулю:

å M O   (P i  )= 0.

 

 

Рисунок 8.6

Из условия равновесия рычага определяется условие устойчивости тел при опрокидывании.

Допустим, что к прямоугольному параллелепипеду (рисунок 8.6) весом G на высоте h приложена горизонтальная сила P, которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его при вращении вокруг ребра A.

Считая, что сила P недостаточно велика, чтобы сдвинуть тело, рассмотрим ее опрокидывающее действие:

å M A   (P i  )= 0;

Ga - Ph = 0;

Ga = Ph.

Ga = M уд.

– удерживающий момент;

Ph = M опр.

– опрокидывающий момент;

 

k = M уд.

M опр.

 

– коэффициент устойчивости.

 

Найдем  равнодействующую R сил P и G

(рисунок 8.7). Если линия действия силы R

проходит:

1) слева от ребра A, то состояние тела

устойчиво

k > 1;

2) через ребро A, то состояние тела предельно

 

Рисунок 8.7

устойчиво

k = 1;

3) справа от ребра A, то тело опрокинется

k <1.

ТРЕНИЕ

Рисунок 9.1

Трение скольжения. Сцепление

Основные законы трения носят приближенный характер. Они установлены Кулоном для сухого трения.

Пусть тело, весом G, лежит на горизонтальной шероховатой поверхности (рисунок 9.1). Приложим к телу силу P. Если

значение силы P будет незначительное, то тело будет оставаться неподвижным, т.е. в равновесии. Следовательно, появляется некая сила, до некоторого момента равная по модулю и противоположно направленная

 

вектору P, удерживающая тело. Эта сила называется силой трения

F тр.

 

При отсутствии скольжения силу трения называют силой сцепления, которая изменяется:

 

0 £ F

 

£  F max.

тр     тр

Максимальная сила сцепления пропорциональна нормальному давлению тела:

F =

max

тр

fN.

 

где f – коэффициент трения покоя (коэффициент сцепления).

Максимальная сила сцепления в широких пределах не зависит от площади трущихся поверхностей, а коэффициент сцепления зависит от характера трущихся поверхностей, а так же от их агрегатного состояния.

После того, как тело начнет перемещаться, сила трения скольжения будет частично компенсировать действие силы P. Модуль силы трения скольжения будет несколько меньше, чем модуль максимальной силы

сцепления так как

f > f ск.

Угол и конус трения

Пусть на тело, находящееся в покое (рисунок 9.2), действуют активные силы: G – вес тела; P – горизонтальная сила, пытающаяся сдвинуть

тело; R a

– результирующий вектор от активных сил:

R a = G + P.

 

Так как тело под действием результирующей R a

Рисунок 9.2

остается в равновесии, значит, существует сила,

 

равная  по  модулю R a

и противоположно ей направленная – реакция

шероховатой поверхности:

R ш = N + F тр.

 

При F = F max, угол j называют углом трения.

тр     тр

 

tg j =

 

 

max

F

тр

N

 

= f.

 

В общем случае вектор  силы P можно направить как угодно в

плоскости параллельной поверхности трения, поэтому вектор

 

R ш,

отклоняющийся на угол j от вектора N, образует конус трения. До тех

 

пор, пока линия действия результирующего вектора от активных сил R a

будет лежать в пределах конуса трения, тело будет оставаться неподвижным.

 

 

 

F тр

Трение качения

На рисунке 9.3, на первый взгляд, пара сил P и ничем не уравновешенны,        поэтому цилиндр

 

 

Рисунок 9.3

должен начать катиться при любой малой активной силе P. Но это идеальные условия! В действитель- ности, качение начинается при достижении силой P определенного предельного значения.

 

 

Рисунок 9.4

На рисунке 9.4 видно, что контакт цилиндра с поверхностью, по которой он катится, происходит по дуге. Поэтому, нормальная реакция N отстоит от центра цилиндра на расстоянии d, которое зависит от физических свойств поверхности. Предельное значение плеча d называется коэффициентом трения качения:

d = d max.

В отличие от коэффициента трения сцепления (скольжения), который является безразмерной величиной, коэффициент трения качения измеряется в единицах длины [м].

На рисунке 9.5 дана схема сил исходя из абсолютной твердости тел, но с учетом момента сопротивления качению:

M c = d N.

Рассмотрим предельное равновесие катка, с учетом трения сцепления и трения качения:

ìå  P

= P - F max = 0;

ix               тр

ï

î

íå  P iy = N - G = 0;

Рисунок 9.5

ïå M

A   (P i  )= - P R + M c

= 0.

 

Из данных уравнений видно, что скольжение начнется, если

P > F max,

 

тр

т.е. P >

fN.

 

Качение начнется, если

P > M c

R

 

или

P > d N  .

R

Но так как, обычно

d   <<

R

 

f, то качение начнется раньше скольжения.

В связи с этим, в машиностроении энергетически выгодно заменять подшипники скольжения подшипниками качения.